Bab 7

Ruang Vektor & Subruang

Bab 6 membangun intuisi vektor sebagai matriks kolom berarah di dalam ruang Euclidean $\mathbb{R}^n$, lengkap dengan operasi penjumlahan, perkalian skalar, dan dot product. Bab 7 mengambil langkah abstraksi terbesar sejauh ini: kita menggeneralisasi konsep "vektor" menjadi sebarang objek matematika — matriks, polinomial, fungsi kontinu — selama perilakunya patuh pada sepuluh aksioma dasar. Di atas fondasi abstrak ini, kita memformalkan teori subruang yang memungkinkan kita memvalidasi himpunan bagian sebagai ruang vektor tanpa mengulangi kesepuluh pembuktian, lalu menghubungkan konsep kombinasi linear dengan konsistensi SPL melalui teorema ruang rentang (span), dan mengakhiri dengan pembuktian bahwa ruang solusi homogen (nullspace) merupakan subruang fundamental yang menjembatani teori Bab 7 ke analisis rank pada Bab 8.

7.1 Definisi Formal Ruang Vektor

Untuk membangun struktur ruang vektor abstrak, kita membutuhkan sebuah himpunan non-kosong $V$ yang memuat entitas objek ("vektor"), sebuah medan skalar $\mathbb{R}$, serta sepasang aturan operasi: penjumlahan vektor ($+$) dan perkalian skalar ($\cdot$).

Mengapa Perlu Abstraksi?

Di Bab 6, kita membuktikan sifat-sifat dot product, norma, dan ketaksamaan Cauchy-Schwarz secara langsung dari definisi entri-per-entri di $\mathbb{R}^n$. Namun sifat-sifat yang sama juga berlaku untuk objek yang sama sekali berbeda wujudnya — misalnya fungsi kontinu $f: [a,b] \to \mathbb{R}$ dengan dot product berbentuk integral $\int_a^b f(x)g(x)\,dx$. Jika kita membuktikan setiap teorema secara terpisah untuk setiap jenis objek, kerja kita menjadi tak berujung. Abstraksi memungkinkan kita membuktikan sekali, berlaku di mana-mana.

Definisi 7.1 — Sepuluh Aksioma Ruang Vektor

Himpunan non-kosong $V$ dinyatakan valid sebagai sebuah ruang vektor jika untuk setiap $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in V$ serta $k, m \in \mathbb{R}$, sepuluh aksioma berikut terpenuhi:

Aksioma Penjumlahan:

Sifat Tertutup Penjumlahan: $\mathbf{u} + \mathbf{v} \in V$
Sifat Komutatif: $\mathbf{u} + \mathbf{v} = \mathbf{v} + \mathbf{u}$
Sifat Asosiatif Penjumlahan: $(\mathbf{u} + \mathbf{v}) + \mathbf{w} = \mathbf{u} + (\mathbf{v} + \mathbf{w})$
Eksistensi Elemen Identitas Nol: Terdapat $\mathbf{0} \in V$ sedemikian sehingga $\mathbf{u} + \mathbf{0} = \mathbf{u}$
Eksistensi Invers Penjumlahan: Terdapat $-\mathbf{u} \in V$ sedemikian sehingga $\mathbf{u} + (-\mathbf{u}) = \mathbf{0}$

Aksioma Perkalian Skalar:

Sifat Tertutup Perkalian Skalar: $k\mathbf{u} \in V$
Sifat Distributif I (Terhadap Vektor): $k(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = k\mathbf{u} + k\mathbf{v}$
Sifat Distributif II (Terhadap Skalar): $(k + m)\mathbf{u} = k\mathbf{u} + m\mathbf{u}$
Sifat Asosiatif Skalar: $k(m\mathbf{u}) = (km)\mathbf{u}$
Sifat Unital: $1\mathbf{u} = \mathbf{u}$

Contoh 7.1 — Verifikasi Eksplisit Aksioma untuk $P_2(\mathbb{R})$

Tinjau ruang polinomial berderajat maksimum 2: $P_2(\mathbb{R}) = \{a_0 + a_1 x + a_2 x^2 \mid a_i \in \mathbb{R}\}$. Berikut verifikasi terpilih dari beberapa aksioma kunci — sisanya mengikuti pola serupa dari sifat aritmetika polinomial standar.

Aksioma 1 (Tertutup Penjumlahan): Misalkan $\mathbf{p} = 2 + 3x - x^2$ dan $\mathbf{q} = 1 - x + 4x^2$. Maka:
\[ \mathbf{p} + \mathbf{q} = 3 + 2x + 3x^2 \in P_2(\mathbb{R}) \quad (\checkmark) \]

Secara umum: penjumlahan dua polinomial berderajat $\leq 2$ tidak dapat menghasilkan suku $x^3$ atau lebih tinggi, sehingga hasilnya tetap di $P_2(\mathbb{R})$.
Aksioma 4 (Identitas Nol): Polinomial nol $\mathbf{0}(x) = 0 + 0x + 0x^2$ memenuhi:
\[ \mathbf{p} + \mathbf{0} = (2+0) + (3+0)x + (-1+0)x^2 = 2 + 3x - x^2 = \mathbf{p} \quad (\checkmark) \]
Aksioma 5 (Invers Penjumlahan): Untuk $\mathbf{p} = 2 + 3x - x^2$, inversnya adalah $-\mathbf{p} = -2 - 3x + x^2$:
\[ \mathbf{p} + (-\mathbf{p}) = (2-2) + (3-3)x + (-1+1)x^2 = 0 + 0x + 0x^2 = \mathbf{0} \quad (\checkmark) \]
Aksioma 10 (Unital): Perkalian dengan skalar 1:
\[ 1 \cdot \mathbf{p} = 1 \cdot (2 + 3x - x^2) = 2 + 3x - x^2 = \mathbf{p} \quad (\checkmark) \]

Sisa enam aksioma (komutatif, asosiatif, distributif, asosiatif skalar) terpenuhi karena koefisien polinomial beroperasi di dalam $\mathbb{R}$ yang sudah memiliki seluruh sifat tersebut.

Verifikasi Cepat: $\mathbb{R}^n$ sebagai Ruang Vektor

Seperti yang diidentifikasi pada soal latihan Bab 6 nomor 8, seluruh sepuluh aksioma di atas terpenuhi oleh $\mathbb{R}^n$ secara langsung dari sifat-sifat aritmetika bilangan real standar. Penjumlahan entri-per-entri memenuhi Aksioma 1–5 (komutatif, asosiatif, identitas nol, invers negatif), dan perkalian skalar entri-per-entri memenuhi Aksioma 6–10 (distributif, asosiatif, unital). Dengan demikian, $\mathbb{R}^n$ yang telah kita gunakan sejak Bab 1 secara formal merupakan ruang vektor yang valid.

7.2 Contoh Ruang Vektor Non-Euclidean

Kekuatan utama dari definisi abstrak ini adalah objek-objek non-geometris dapat bertindak sah sebagai "vektor" selama mereka mematuhi kesepuluh aturan di atas.

Contoh 7.2 — Ruang Matriks $M_{n \times n}(\mathbb{R})$

Tinjau himpunan seluruh matriks persegi berukuran $n \times n$ dengan entri real. Dalam ruang ini, sebuah matriks bertindak sebagai sebuah vektor. Penjumlahan dua matriks seordo menghasilkan matriks baru seordo (Aksioma 1), dan perkalian matriks dengan skalar menjaga dimensi (Aksioma 6). Vektor nol dalam ruang ini adalah matriks nol $O_{n \times n}$. Berdasarkan seluruh hukum aljabar matriks Bab 3, himpunan $M_{n \times n}(\mathbb{R})$ merupakan ruang vektor yang valid.

Contoh 7.3 — Ruang Polinomial $P_n(\mathbb{R})$

Himpunan seluruh fungsi polinomial berderajat maksimum $n$ beserta polinomial nol:

\[ P_n(\mathbb{R}) = \big\{ a_0 + a_1 x + a_2 x^2 + \cdots + a_n x^n \,\big|\, a_i \in \mathbb{R} \big\} \]

Dalam ruang abstrak ini, sebuah fungsi polinomial bertindak sebagai sebuah vektor. Penjumlahan dua polinomial berderajat $\leq n$ tetap menghasilkan polinomial berderajat $\leq n$ (Aksioma 1). Elemen identitasnya adalah polinomial nol: $\mathbf{0}(x) = 0 + 0x + \cdots + 0x^n$. Seluruh sepuluh aksioma terpenuhi berdasarkan sifat aljabar standar polinomial.

Contoh 7.4 — Ruang Fungsi Kontinu $C[a,b]$

Himpunan seluruh fungsi real-valued yang kontinu pada interval tertutup $[a,b]$:

\[ C[a,b] = \big\{ f: [a,b] \to \mathbb{R} \,\big|\, f \text{ kontinu pada } [a,b] \big\} \]

Dalam ruang ini, sebuah fungsi kontinu bertindak sebagai sebuah vektor. Operasi penjumlahan dan perkalian skalar didefinisikan titik-demi-titik: $(f+g)(x) = f(x) + g(x)$ dan $(kf)(x) = k \cdot f(x)$.

Verifikasi kunci:

Aksioma 1: Jumlah dua fungsi kontinu adalah kontinu (teorema kalkulus dasar). ∎
Aksioma 6: Kelipatan skalar fungsi kontinu adalah kontinu. ∎
Aksioma 4: Fungsi nol $\mathbf{0}(x) = 0$ untuk semua $x$ adalah kontinu dan memenuhi $f + \mathbf{0} = f$. ∎

Sisa aksioma diwarisi dari sifat aritmetika $\mathbb{R}$. Perhatikan: ruang ini berdimensi tak-hingga — tidak ada himpunan berhingga yang dapat membentang seluruh fungsi kontinu. Ini kontras dengan $\mathbb{R}^n$ (dimensi $n$) dan $P_n$ (dimensi $n+1$).

Contoh 7.5 — Kontra-Kasus: Himpunan Fungsi dengan $f(0) = 1$

Misalkan $V = \{f: \mathbb{R} \to \mathbb{R} \mid f(0) = 1\}$ dengan operasi standar (titik-demi-titik). Ambil sebarang $f \in V$, maka $f(0) = 1$. Periksa Aksioma 5 — eksistensi invers penjumlahan:

\[ (f + (-f))(0) = f(0) + (-f)(0) = 1 + (-1) = 0 \neq 1 \]

Jadi $f + (-f) \notin V$ karena hasilnya memetakan $0 \mapsto 0$, bukan $0 \mapsto 1$. Aksioma 5 gagal. Demikian pula Aksioma 4: fungsi nol $\mathbf{0}(x) = 0$ tidak ada di $V$ karena $\mathbf{0}(0) = 0 \neq 1$. Himpunan $V$ bukan ruang vektor.

Intuisi geometris: himpunan ini analog dengan garis $y = 3x + 2$ dari Contoh 7.7 — tidak melewati "titik asal" fungsi (yaitu fungsi nol), sehingga secara struktural tidak mungkin menjadi ruang vektor.

7.3 Subruang Vektor dan Teorema Reduksi Kriteria

Membuktikan sebuah himpunan baru merupakan ruang vektor secara manual memerlukan validasi kesepuluh aksioma. Namun, jika himpunan tersebut berada di dalam ruang vektor induk yang sudah terbukti valid, kita dapat memangkas pembuktian secara drastis.

Definisi 7.2 — Subruang Vektor (Subspace)

Misalkan $V$ adalah ruang vektor dan $W \subseteq V$ adalah himpunan bagian non-kosong. Himpunan $W$ disebut subruang (subspace) dari $V$ jika $W$ itu sendiri membentuk ruang vektor di bawah operasi yang sama dengan $V$.

Subruang Trivial

Setiap ruang vektor $V$ memiliki setidaknya dua subruang yang selalu valid: (i) subruang trivial $\{\mathbf{0}\}$ yang hanya memuat vektor nol, dan (ii) subruang improper $V$ itu sendiri. Kedua subruang ini memenuhi ketiga kriteria di bawah secara langsung.

Teorema 7.1 — Teorema Reduksi Kriteria Subruang

Jika $W$ adalah himpunan bagian non-kosong dari ruang vektor $V$, maka $W$ merupakan subruang dari $V$ jika dan hanya jika memenuhi tiga syarat minimal:

Vektor nol induk berada di dalam $W$: $\mathbf{0} \in W$
Tertutup Penjumlahan: $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W \implies (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \in W$
Tertutup Perkalian Skalar: $\mathbf{u} \in W,\; k \in \mathbb{R} \implies (k\mathbf{u}) \in W$

Aksioma Warisan: Mengapa tujuh aksioma lainnya tidak perlu diuji? Karena seluruh elemen $W$ merupakan anggota $V$, sifat komutatif, asosiatif, dan distributif secara otomatis diwariskan dari induknya.

Kriteria Subruang Tunggal (Versi Kompak)

Syarat 2 dan 3 dari Teorema 7.1 dapat digabungkan menjadi satu kondisi tunggal yang sering lebih efisien secara komputasi: $W$ adalah subruang jika dan hanya jika untuk setiap $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W$ dan setiap $a, b \in \mathbb{R}$, berlaku $a\mathbf{u} + b\mathbf{v} \in W$. Kondisi ini secara simultan menangkap tertutup penjumlahan (ambil $a = b = 1$) dan tertutup perkalian skalar (ambil $b = 0$). Namun, syarat $\mathbf{0} \in W$ tetap harus dicek secara terpisah atau diimplikasikan dari keberadaan $\mathbf{u} \in W$ dengan pemilihan $a = b = 0$.

7.4 Contoh Analisis Validitas Subruang

Contoh 7.6 — Subruang Valid: Bidang Homogen di $\mathbb{R}^3$

Buktikan bahwa $W = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \,\middle|\, 2x - y + 3z = 0 \right\}$ adalah subruang dari $\mathbb{R}^3$:

Vektor nol: $2(0) - 0 + 3(0) = 0 \quad (\checkmark)$
Tertutup penjumlahan: Jika $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W$, maka $2x_1 - y_1 + 3z_1 = 0$ dan $2x_2 - y_2 + 3z_2 = 0$. Maka:
\[ 2(x_1+x_2) - (y_1+y_2) + 3(z_1+z_2) = \underbrace{(2x_1 - y_1 + 3z_1)}_{=0} + \underbrace{(2x_2 - y_2 + 3z_2)}_{=0} = 0 \quad (\checkmark) \]
Tertutup perkalian skalar: Jika $\mathbf{u} \in W$ dan $k \in \mathbb{R}$, maka:
\[ 2(kx_1) - (ky_1) + 3(kz_1) = k \cdot \underbrace{(2x_1 - y_1 + 3z_1)}_{=0} = 0 \quad (\checkmark) \]

Ketiga syarat terpenuhi — $W$ adalah subruang dari $\mathbb{R}^3$.

Contoh 7.7 — Kontra-Kasus: Garis Non-Homogen Bukan Subruang

Misalkan $W = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2 \,\middle|\, y - 3x = 2 \right\}$. Substitusikan vektor nol: $0 - 3(0) = 0 \neq 2$. Karena $\mathbf{0} \notin W$, himpunan ini bukan subruang. Secara geometris, garis $y = 3x + 2$ tidak melewati titik origin.

Contoh 7.8 — Subruang Valid: Matriks Simetris $2 \times 2$

Buktikan bahwa $W = \{A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \mid A = A^T\}$ adalah subruang dari $M_{2 \times 2}(\mathbb{R})$:

Vektor nol: Matriks nol $O_{2 \times 2}$ memenuhi $O^T = O$, sehingga $O \in W$. ∎
Tertutup penjumlahan: Jika $A, B \in W$, maka $A^T = A$ dan $B^T = B$. Maka:
\[ (A + B)^T = A^T + B^T = A + B \implies (A + B) \in W \quad (\checkmark) \]
Tertutup perkalian skalar: Jika $A \in W$ dan $k \in \mathbb{R}$, maka:
\[ (kA)^T = kA^T = kA \implies (kA) \in W \quad (\checkmark) \]

$W$ adalah subruang. Secara eksplisit, setiap elemen $W$ berbentuk $\begin{bmatrix} a & b \\ b & d \end{bmatrix}$ dengan tiga parameter bebas — menunjukkan bahwa $\dim(W) = 3$ (akan diformalkan pada Bab 8).

Contoh 7.9 — Kontra-Kasus: Himpunan $xy \geq 0$ di $\mathbb{R}^2$

Misalkan $W = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2 \,\middle|\, xy \geq 0 \right\}$ — gabungan kuadran pertama dan ketiga beserta sumbu-sumbunya. Ambil dua vektor:

\[ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix} \in W \quad (\text{karena } 1 \cdot 0 = 0 \geq 0), \qquad \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ -1 \end{bmatrix} \in W \quad (\text{karena } 0 \cdot (-1) = 0 \geq 0) \]

Namun:

\[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \qquad 1 \cdot (-1) = -1 < 0 \implies \mathbf{u} + \mathbf{v} \notin W \]

Aksioma tertutup penjumlahan gagal — $W$ bukan subruang. Perhatikan bahwa vektor nol $\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \in W$ dan perkalian skalar juga lolos untuk kasus ini, menunjukkan bahwa setiap syarat harus diuji secara independen — keberhasilan pada satu atau dua syarat tidak menjamin syarat lainnya.

7.5 Kombinasi Linear

Definisi 7.3 — Kombinasi Linear Vektor

Vektor $\mathbf{w}$ dinyatakan sebagai kombinasi linear dari $\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \ldots, \mathbf{v}_r \in V$ jika:

\[ \mathbf{w} = c_1 \mathbf{v}_1 + c_2 \mathbf{v}_2 + \cdots + c_r \mathbf{v}_r \]

di mana $c_1, c_2, \ldots, c_r \in \mathbb{R}$ disebut koefisien kombinasi linear.

Koneksi Kombinasi Linear ke Konsistensi SPL

Pertanyaan "apakah $\mathbf{w}$ merupakan kombinasi linear dari $\{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_r\}$?" secara aljabar identik dengan pertanyaan "apakah SPL $c_1\mathbf{v}_1 + \cdots + c_r\mathbf{v}_r = \mathbf{w}$ konsisten?". Matriks koefisien SPL ini memiliki vektor-vektor generator sebagai kolom-kolomnya. Dengan demikian, seluruh teori konsistensi SPL dari Bab 1 dan Bab 2 — termasuk konsep baris nol, pivot, dan variabel bebas — langsung berlaku dalam analisis kombinasi linear.

Contoh 7.10 — Pengujian Kombinasi Linear: Kasus Inkonsisten

Tentukan apakah $\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 4 \\ 11 \\ 3 \end{bmatrix}$ merupakan kombinasi linear dari $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix}$:

\[ c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ 5 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 4 \\ 11 \\ 3 \end{bmatrix} \implies \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 4 \\ 2 & 5 & 11 \\ 1 & 3 & 3 \end{array}\right] \]

\[ \xrightarrow[R_3 - R_1]{R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \end{array}\right] \xrightarrow{R_3 - R_2} \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 4 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & \color{#dc2626}{-4} \end{array}\right] \]

Baris ketiga menghasilkan kontradiksi $0 = -4$. Sistem inkonsisten — tidak ada koefisien $c_1, c_2$ yang memenuhi persamaan. Vektor $\mathbf{w}$ bukan kombinasi linear dari $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}$.

Contoh 7.11 — Kombinasi Linear Berhasil: Menentukan Koefisien

Tentukan apakah $\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 8 \\ 3 \\ 7 \end{bmatrix}$ merupakan kombinasi linear dari $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix}$. Jika ya, tentukan koefisiennya.

\[ c_1 \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} + c_2 \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 3 \\ 7 \end{bmatrix} \implies \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 8 \\ 3 & -1 & 3 \\ 2 & 1 & 7 \end{array}\right] \]

\[ \xrightarrow[R_3 - 2R_1]{R_2 - 3R_1} \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 8 \\ 0 & -7 & -21 \\ 0 & -3 & -9 \end{array}\right] \xrightarrow{-\frac{1}{7}R_2} \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & 8 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & -3 & -9 \end{array}\right] \xrightarrow[R_1 - 2R_2]{R_3 + 3R_2} \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 0 & 2 \\ 0 & 1 & 3 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \]

Tidak ada baris kontradiksi — sistem konsisten dengan solusi unik $c_1 = 2$, $c_2 = 3$. Verifikasi:

\[ 2\begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ 2 \end{bmatrix} + 3\begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ 6 \\ 4 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 6 \\ -3 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 3 \\ 7 \end{bmatrix} = \mathbf{w} \quad (\checkmark) \]

Solusi unik ini bukan kebetulan — pada Bab 8 kita akan melihat bahwa $\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}$ membentuk basis untuk bidang yang mereka bentang, sehingga setiap vektor di dalam bidang tersebut memiliki representasi kombinasi linear yang tunggal.

Contoh 7.12 — Kombinasi Linear di Ruang Polinomial $P_2$

Tentukan apakah $\mathbf{p}(x) = 3 + 4x + 5x^2$ merupakan kombinasi linear dari:

\[ \mathbf{p}_1(x) = 1 + x + x^2, \qquad \mathbf{p}_2(x) = 1 + 2x, \qquad \mathbf{p}_3(x) = 1 + x^2 \]

Penyelesaian: Ekuivalen dengan SPL: $c_1 \mathbf{p}_1 + c_2 \mathbf{p}_2 + c_3 \mathbf{p}_3 = \mathbf{p}$. Samakan koefisien pada setiap pangkat $x$:

\[ \begin{cases} c_1 + c_2 + c_3 = 3 & \text{(koefisien } x^0\text{)} \\ c_1 + 2c_2 = 4 & \text{(koefisien } x^1\text{)} \\ c_1 + c_3 = 5 & \text{(koefisien } x^2\text{)} \end{cases} \]

Dari persamaan kedua: $c_1 = 4 - 2c_2$. Dari persamaan ketiga: $c_3 = 5 - c_1 = 5 - 4 + 2c_2 = 1 + 2c_2$. Substitusi ke persamaan pertama:

\[ (4 - 2c_2) + c_2 + (1 + 2c_2) = 3 \implies 5 + c_2 = 3 \implies c_2 = -2 \]

\[ c_1 = 4 - 2(-2) = 8, \qquad c_3 = 1 + 2(-2) = -3 \]

Verifikasi:

\[ 8(1+x+x^2) + (-2)(1+2x) + (-3)(1+x^2) = (8-2-3) + (8-4)x + (8-3)x^2 = 3 + 4x + 5x^2 \quad (\checkmark) \]

Metode "samakan koefisien per pangkat" ini secara aljabar identik dengan eliminasi Gauss — vektor koefisien polinomial $\begin{bmatrix} 1&1&1\\1&2&0\\1&0&1 \end{bmatrix}$ membentuk matriks koefisien SPL yang sama.

7.6 Ruang Rentang (Linear Span)

Teorema 7.2 — Teorema Ruang Rentang

Jika $S = \{\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_r\}$ adalah himpunan vektor di dalam ruang vektor $V$, maka himpunan seluruh kombinasi linear dari elemen $S$, dinotasikan $\text{span}(S)$, merupakan subruang dari $V$.

Bukti via Tiga Kriteria Subruang

Misalkan $W = \text{span}(S)$. Kita uji menggunakan Teorema 7.1:

Vektor nol: Pilih seluruh koefisien nol: $\mathbf{0} = 0\cdot\mathbf{v}_1 + \cdots + 0\cdot\mathbf{v}_r$. Ini adalah kombinasi linear yang valid, sehingga $\mathbf{0} \in W$. ∎
Tertutup penjumlahan: Jika $\mathbf{w}_1, \mathbf{w}_2 \in W$, maka $\mathbf{w}_1 = \sum c_i \mathbf{v}_i$ dan $\mathbf{w}_2 = \sum d_i \mathbf{v}_i$. Maka:
\[ \mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 = \sum c_i \mathbf{v}_i + \sum d_i \mathbf{v}_i = \sum (c_i + d_i) \mathbf{v}_i \]
yang merupakan kombinasi linear dengan koefisien $(c_i + d_i)$, sehingga $\mathbf{w}_1 + \mathbf{w}_2 \in W$. ∎
Tertutup perkalian skalar: Jika $\mathbf{w} = \sum c_i \mathbf{v}_i \in W$ dan $k \in \mathbb{R}$, maka:
\[ k\mathbf{w} = k\sum c_i \mathbf{v}_i = \sum (kc_i) \mathbf{v}_i \]
yang merupakan kombinasi linear dengan koefisien $(kc_i)$, sehingga $k\mathbf{w} \in W$. ∎

Ketiga syarat terpenuhi — $\text{span}(S)$ adalah subruang dari $V$. ∎

Contoh 7.13 — Persamaan Geometri Ruang Rentang di $\mathbb{R}^3$

Tentukan persamaan geometri dari $\text{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}$ untuk $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}$:

\[ \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & x \\ -1 & 1 & y \\ 2 & 1 & z \end{array}\right] \xrightarrow[R_3 - 2R_1]{R_2 + R_1} \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & x \\ 0 & 3 & y + x \\ 0 & -3 & z - 2x \end{array}\right] \xrightarrow{R_3 + R_2} \left[\begin{array}{cc|c} 1 & 2 & x \\ 0 & 3 & y + x \\ 0 & 0 & z - x + y \end{array}\right] \]

Agar sistem konsisten: $z - x + y = 0$, atau equivalen $x - y - z = 0$. Ini adalah persamaan bidang datar yang melewati origin di $\mathbb{R}^3$.

Verifikasi: $\mathbf{v}_1$ memenuhi $1-(-1)-2=0$ (\checkmark), $\mathbf{v}_2$ memenuhi $2-1-1=0$ (\checkmark).

Contoh 7.14 — Span Tiga Vektor di $\mathbb{R}^3$: Seluruh Ruang atau Bidang?

Tentukan apakah $\text{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} = \mathbb{R}^3$ untuk:

\[ \mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Penyelesaian: Pertanyaan ini ekuivalen dengan: untuk setiap $\mathbf{w} = \begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3$, apakah SPL berikut selalu konsisten?

\[ \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & a \\ 0 & 1 & 1 & b \\ 1 & 1 & 0 & c \end{array}\right] \xrightarrow{R_3 - R_1 - R_2} \left[\begin{array}{ccc|c} 1 & 0 & 1 & a \\ 0 & 1 & 1 & b \\ 0 & 0 & -2 & c - a - b \end{array}\right] \]

Setiap baris memiliki pivot — tidak ada baris nol yang dapat menghasilkan kontradiksi. Oleh karena itu, untuk setiap vektor $\begin{bmatrix} a \\ b \\ c \end{bmatrix}$, sistem selalu konsisten. Kesimpulan:

\[ \text{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2, \mathbf{v}_3\} = \mathbb{R}^3 \]

Catatan: pada Bab 8, kita akan menyatakan kondisi ini lebih elegan — ketiga vektor ini membentuk basis untuk $\mathbb{R}^3$, yang ekuivalen dengan determinan matriks $[\mathbf{v}_1 \;\mathbf{v}_2 \;\mathbf{v}_3]$ bernilai tak-nol: $\det = 1(0-1) - 0 + 1(0-1) = -2 \neq 0$.

Contoh 7.15 — Span di Ruang Polinomial $P_2$

Tentukan apakah $S = \{1 + x^2,\; x,\; 1\}$ membentang seluruh $P_2(\mathbb{R})$.

Penyelesaian: Kita harus menunjukkan bahwa sebarang polinomial $a + bx + cx^2 \in P_2(\mathbb{R})$ dapat ditulis sebagai kombinasi linear dari $S$:

\[ c_1(1 + x^2) + c_2(x) + c_3(1) = (c_1 + c_3) + c_2 x + c_1 x^2 = a + bx + cx^2 \]

Samakan koefisien:

\[ c_1 = c, \qquad c_2 = b, \qquad c_1 + c_3 = a \implies c_3 = a - c \]

Karena $c_1, c_2, c_3$ selalu terdefinisi untuk sebarang $a, b, c \in \mathbb{R}$, maka $\text{span}(S) = P_2(\mathbb{R})$.

Sebagai ilustrasi numerik, untuk menuliskan $\mathbf{p}(x) = 5 - 3x + 2x^2$:

\[ 2(1 + x^2) + (-3)(x) + 3(1) = (2+3) + (-3)x + 2x^2 = 5 - 3x + 2x^2 \quad (\checkmark) \]

Perhatikan bahwa himpunan $S$ bukan basis standar $\{1, x, x^2\}$, namun tetap membentang seluruh ruang — ini menunjukkan bahwa banyak himpunan berbeda dapat memiliki span yang sama. Pada Bab 8, kita akan mempelajari kriteria ketat yang membedakan himpunan pembentang (spanning set) dari basis.

7.7 Ruang Solusi Homogen (Nullspace)

Salah satu aplikasi subruang yang paling fundamental adalah himpunan solusi dari sistem persamaan linear homogen.

Teorema 7.3 — Ruang Nul sebagai Subruang

Jika $A$ adalah matriks berukuran $m \times n$, maka himpunan seluruh solusi dari sistem homogen:

\[ A\mathbf{x} = \mathbf{0} \]

merupakan subruang dari $\mathbb{R}^n$. Subruang ini disebut ruang nul (nullspace) dari $A$, dinotasikan $\text{Nul}(A)$.

Bukti

Misalkan $W = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid A\mathbf{x} = \mathbf{0}\}$. Uji menggunakan Teorema 7.1:

$A\mathbf{0} = \mathbf{0}$ (sifat matriks Bab 3), sehingga $\mathbf{0} \in W$. ∎
Jika $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in W$, maka $A\mathbf{u} = \mathbf{0}$ dan $A\mathbf{v} = \mathbf{0}$. Menggunakan sifat distributif:
\[ A(\mathbf{u} + \mathbf{v}) = A\mathbf{u} + A\mathbf{v} = \mathbf{0} + \mathbf{0} = \mathbf{0} \implies (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \in W \quad \square \]
Jika $\mathbf{u} \in W$ dan $k \in \mathbb{R}$, maka:
\[ A(k\mathbf{u}) = k(A\mathbf{u}) = k\mathbf{0} = \mathbf{0} \implies (k\mathbf{u}) \in W \quad \square \]

Ketiga kriteria terpenuhi — $\text{Nul}(A)$ adalah subruang dari $\mathbb{R}^n$. ∎

Batasan: Sistem Non-Homogen Bukan Subruang

Teorema 7.3 hanya berlaku untuk sistem homogen. Himpunan solusi $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ dengan $\mathbf{b} \neq \mathbf{0}$ tidak pernah membentuk subruang karena $A\mathbf{0} = \mathbf{0} \neq \mathbf{b}$, melanggar syarat keberadaan vektor nol.

Contoh 7.16 — Parametrisasi Nullspace

Deskripsikan $\text{Nul}(A)$ secara parametrik untuk:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & -1 & 3 \\ 2 & 4 & -2 & 6 \\ 0 & 1 & 1 & -1 \end{bmatrix} \]

Penyelesaian: Reduksi matriks augmented $[A \mid \mathbf{0}]$ ke bentuk eselon baris:

\[ \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 2 & 4 & -2 & 6 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right] \xrightarrow{R_2 - 2R_1} \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \end{array}\right] \]

\[ \xrightarrow{\text{tukar } R_2 \leftrightarrow R_3} \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 2 & -1 & 3 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \xrightarrow{R_1 - 2R_2} \left[\begin{array}{cccc|c} 1 & 0 & -3 & 5 & 0 \\ 0 & 1 & 1 & -1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\right] \]

Identifikasi variabel: Kolom pivot = 1, 2 (variabel dasar: $x_1, x_2$). Kolom bebas = 3, 4 (variabel bebas: $x_3, x_4$). Sistem menghasilkan:

\[ x_1 = 3x_3 - 5x_4, \qquad x_2 = -x_3 + x_4, \qquad x_3 = x_3, \qquad x_4 = x_4 \]

Dalam notasi vektor:

\[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \\ x_4 \end{bmatrix} = x_3 \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + x_4 \begin{bmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \]

\[ \boxed{\text{Nul}(A) = \text{span}\left\{ \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\; \begin{bmatrix} -5 \\ 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \right\}} \]

Perhatikan: nullspace secara alami terekspresikan sebagai span — ini bukan kebetulan. Setiap nullspace selalu merupakan subruang (Teorema 7.3), dan setiap subruang yang dibangun dari himpunan berhingga vektor selalu merupakan span (Teorema 7.2). Pada Bab 8, kedua vektor generator ini akan dikenal sebagai basis nullspace, dan jumlahnya (2) akan dikodekan sebagai nullity dari $A$.

Koneksi ke Teorema Invertibel Matriks (Bab 4)

Teorema 4.6 Poin (4) menyatakan: "$A\mathbf{x} = \mathbf{0}$ hanya memiliki solusi trivial" ekuivalen dengan "$A$ invertibel". Dalam notasi Bab 7, pernyataan ini dapat dinyatakan secara kompak sebagai: $\text{Nul}(A) = \{\mathbf{0}\}$ — ruang nul menciut menjadi subruang trivial. Pada Bab 8, kita akan mengukur "seberapa besar" ruang nol ini melalui konsep dimensi nulitas (nullity), yang merupakan salah satu parameter kunci dalam teorema Rank-Nullity.

Perspektif Aljabar Bab Ini

Bab 7 melaksanakan lompatan abstraksi kunci: dari vektor sebagai "panah berarah di $\mathbb{R}^n$" menjadi vektor sebagai "sebarang objek yang patuh pada sepuluh aksioma". Dua konsekuensi struktural mengalir dari lompatan ini.

Pertama, teori subruang (Teorema 7.1) memungkinkan kita memvalidasi himpunan bagian sebagai ruang vektor hanya dengan tiga uji — bukan sepuluh. Ini bukan sekadar pintasasan komputasional; ini mencerminkan fakta mendalam bahwa sifat-sifat aljabar internal (komutatif, asosiatif, distributif) bersifat herediter — diwariskan secara otomatis dari ruang induk ke subruang.

Kedua, konsep kombinasi linear menjembatani teori ruang vektor abstrak dengan teori SPL konkret dari Bab 1–2. Pertanyaan "apakah $\mathbf{w} \in \text{span}(S)$?" identik dengan "apakah SPL tertentu konsisten?", dan jawabannya dibaca langsung dari bentuk eselon matriks koefisien. Jembatan ini akan diperkuat pada Bab 8 ketika kita menunjukkan bahwa kolom-kolom matriks $A$ membentang ruang kolom ($\text{Col}(A)$), dan hubungan dimensi antara $\text{Nul}(A)$ dan $\text{Col}(A)$ akan dikodifikasi oleh Teorema Rank-Nullity.

Latihan Evaluasi Akhir Bab 7

Diberikan himpunan $V$ berisi vektor $\mathbb{R}^2$ dengan operasi perkalian skalar non-standar:
\[ k \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} kx \\ 0 \end{bmatrix} \]
(penjumlahan tetap standar). Uji aksioma nomor berapa saja yang dilanggar. Apakah $V$ merupakan ruang vektor?
Gunakan Teorema 7.1 untuk menentukan apakah himpunan berikut merupakan subruang:
- (a) $W_1 = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^3 \,\middle|\, x = 4y \text{ dan } z = 0 \right\}$
- (b) $W_2 = \left\{ \begin{bmatrix} x \\ y \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2 \,\middle|\, x^2 + y^2 \leq 4 \right\}$ (cakram lingkaran)
- (c) $W_3 = \{ A \in M_{2 \times 2}(\mathbb{R}) \mid A = -A^T \}$ (matriks antisimetris)
Ujilah apakah $\mathbf{p}(x) = 1 + 5x - x^2$ merupakan kombinasi linear dari $S = \{\mathbf{p}_1, \mathbf{p}_2, \mathbf{p}_3\}$ dengan:
\[ \mathbf{p}_1(x) = 1 + x, \qquad \mathbf{p}_2(x) = 2 + x^2, \qquad \mathbf{p}_3(x) = x + 2x^2 \]
Tentukan persamaan geometri dari $\text{span}\{\mathbf{v}_1, \mathbf{v}_2\}$ untuk $\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 2 \end{bmatrix}$.
Deskripsikan $\text{Nul}(A)$ secara parametrik untuk:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 3 & -1 & 4 \\ 2 & 6 & -2 & 8 \\ 0 & 0 & 1 & 3 \end{bmatrix} \]
Soal Pemikiran Analitis: Misalkan $W_1$ dan $W_2$ adalah subruang dari $V$.
(a) Buktikan bahwa $W_1 \cap W_2$ merupakan subruang dari $V$.
(b) Berikan contoh kontra-kasus sederhana di $\mathbb{R}^2$ yang menunjukkan $W_1 \cup W_2$ belum tentu subruang.
Soal Pemikiran Koneksi Bab 4: Berdasarkan koneksi IMT yang dibahas pada note-box Bagian 7.7, jelaskan mengapa pernyataan "$\text{Nul}(A) = \{\mathbf{0}\}$" secara logis ekuivalen dengan "$\text{rank}(A) = n$" untuk matriks $A$ berordo $n \times n$. (Petunjuk: gunakan rantai implikasi Teorema 4.6 Poin (3) ⇒ (4) dan (4) ⇒ (3).)

Bab sebelumnya

Vektor di $\mathbb{R}^n$

Bab berikutnya

Basis, Dimensi & Rank