Bab 10

Nilai Eigen & Diagonalisasi

Bab 9 mengonseptualisasikan matriks sebagai operator dinamis yang mentransformasikan vektor di dalam ruang. Secara umum, aksi perkalian matriks akan mengubah panjang sekaligus arah dari sebuah vektor. Bab ini akan mengungkap fakta bahwa untuk setiap matriks persegi, terdapat vektor-vektor istimewa yang arahnya tetap tidak berubah saat dikalikan dengan matriks tersebut. Transformasi mereka hanya berupa penskalaan panjang murni. Vektor khusus ini disebut vektor eigen, dan faktor penskalaannya disebut nilai eigen. Menemukan komponen-komponen ini memungkinkan kita menyederhanakan operator linear rumit menjadi matriks diagonal murni melalui transformasi keserupaan.

10.1 Definisi Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Ketika sebuah matriks $A$ berukuran $n \times n$ dikalikan dengan sebuah vektor $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$, hasil produk perkalian $A\mathbf{x}$ biasanya menghasilkan vektor baru yang mengalami rotasi arah dan penskalaan panjang dari posisi semula. Namun, terdapat kondisi geometris yang sangat langka di mana hasil operasi perkalian tersebut searah atau segaris lurus dengan vektor aslinya.

Definisi 10.1 — Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Misalkan $A$ adalah sebuah matriks persegi berukuran $n \times n$. Sebuah skalar $\lambda$ (baca: lambda) disebut sebagai nilai eigen (eigenvalue) dari matriks $A$ jika terdapat sebuah vektor non-nol $\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n$ yang memenuhi persamaan fundamental:

\[ A\mathbf{x} = \lambda\,\mathbf{x} \]

Vektor $\mathbf{x}$ yang memenuhi hubungan di atas disebut sebagai vektor eigen (eigenvector) yang bersesuaian dengan nilai eigen $\lambda$.

Aksioma Batasan Vektor Non-Nol

Perhatikan baik-baik syarat mutlak di dalam Definisi 10.1: sebuah vektor eigen tidak pernah diperbolehkan berupa vektor nol ($\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$). Alasannya, jika $\mathbf{x} = \mathbf{0}$, maka $A\mathbf{0} = \lambda\,\mathbf{0} \implies \mathbf{0} = \mathbf{0}$ selalu benar untuk sebarang $\lambda$ — sehingga kehilangan nilai informatifnya. Sebaliknya, nilai eigen $\lambda$ boleh bernilai nol. Implikasi dari kasus $\lambda = 0$ akan dianalisis pada Bagian 10.4.

Contoh 10.1 — Verifikasi Pasangan Nilai Eigen dan Vektor Eigen

Tinjau matriks $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$. Buktikan apakah vektor-vektor berikut bertindak sebagai vektor eigen, dan tentukan nilai eigen yang bersesuaian:

\[ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix} \]

Penyelesaian:

Pengujian $\mathbf{u}$:
\[ A\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 8 \\ 4 \end{bmatrix} = 4\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} = 4\mathbf{u} \]
$\mathbf{u}$ adalah vektor eigen dengan nilai eigen $\lambda = 4$ (\checkmark).
Pengujian $\mathbf{v}$:
\[ A\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -9 \end{bmatrix} = -3\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix} = -3\mathbf{v} \]
$\mathbf{v}$ adalah vektor eigen dengan nilai eigen $\lambda = -3$ (\checkmark). ∎

10.2 Persamaan Karakteristik & Polinomial

Contoh 10.1 memperlihatkan cara memverifikasi pasangan eigen jika sudah diketahui. Namun dalam skenario riil, kita memerlukan metode sistematis untuk mencari nilai eigen $\lambda$ tanpa menebak vektornya.

Tata ulang persamaan $A\mathbf{x} = \lambda\,\mathbf{x}$ dengan menyisipkan matriks identitas:

\[ A\mathbf{x} = \lambda I_n\,\mathbf{x} \implies A\mathbf{x} - \lambda I_n\,\mathbf{x} = \mathbf{0} \implies (A - \lambda I_n)\mathbf{x} = \mathbf{0} \]

Agar sistem homogen ini memiliki solusi non-trivial ($\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$), matriks koefisien $(A - \lambda I_n)$ harus bersifat singular — yaitu determinannya nol.

Teorema 10.1 — Persamaan Karakteristik

Skalar $\lambda$ merupakan nilai eigen dari matriks $A$ berukuran $n \times n$ jika dan hanya jika:

\[ \det(A - \lambda I_n) = 0 \]

Persamaan ini disebut persamaan karakteristik. Ketika dijabarkan, ia membentuk polinomial karakteristik berderajat $n$ dalam variabel $\lambda$.

Contoh 10.2 — Perhitungan Nilai Eigen via Persamaan Karakteristik

Hitunglah seluruh nilai eigen dari $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$.

Langkah 1: Susun $A - \lambda I_2$:

\[ A - \lambda I_2 = \begin{bmatrix} 3 - \lambda & 2 \\ 3 & -2 - \lambda \end{bmatrix} \]

Langkah 2: Hitung determinan dan tetapkan sama dengan nol:

\[ \det(A - \lambda I_2) = (3 - \lambda)(-2 - \lambda) - 6 = \lambda^2 - \lambda - 12 = 0 \]

Langkah 3: Faktorkan polinomial karakteristik:

\[ (\lambda - 4)(\lambda + 3) = 0 \implies \lambda_1 = 4, \quad \lambda_2 = -3 \]

Konsisten dengan Contoh 10.1 ($\checkmark$). ∎

Jalan Pintas: Trace dan Determinan untuk Matriks $2 \times 2$

Untuk matriks $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$, polinomial karakteristik selalu berbentuk $\lambda^2 - (\text{tr}\,A)\,\lambda + \det(A) = 0$, di mana $\text{tr}\,A = a + d$. Ini karena:

\[ \det(A - \lambda I) = (a - \lambda)(d - \lambda) - bc = \lambda^2 - (a+d)\lambda + (ad - bc) \]

Contoh cepat: Jika $A = \begin{bmatrix} 5 & 3 \\ 2 & 4 \end{bmatrix}$, maka $\text{tr}\,A = 9$ dan $\det(A) = 14$. Persamaan karakteristik: $\lambda^2 - 9\lambda + 14 = 0 \implies (\lambda - 7)(\lambda - 2) = 0$, sehingga $\lambda = 7$ dan $\lambda = 2$ — tanpa perlu menyusun $A - \lambda I$ sama sekali.

10.3 Perhitungan Ruang Eigen (Eigenspace)

Setelah nilai eigen diisolasi, tahapan berikutnya adalah mencari seluruh vektor eigen yang bersesuaian dengan memasukkan kembali setiap $\lambda$ ke dalam $(A - \lambda I_n)\mathbf{x} = \mathbf{0}$.

Definisi 10.2 — Ruang Eigen (Eigenspace)

Misalkan $\lambda$ adalah nilai eigen dari $A$. Ruang eigen $E_\lambda$ adalah himpunan seluruh solusi dari $(A - \lambda I_n)\mathbf{x} = \mathbf{0}$:

\[ E_\lambda = \ker(A - \lambda I_n) = \{\mathbf{x} \in \mathbb{R}^n \mid (A - \lambda I_n)\mathbf{x} = \mathbf{0}\} \]

Ruang eigen ini merupakan subruang dari $\mathbb{R}^n$ yang memuat vektor nol bersama seluruh vektor eigen berpasangan dengan $\lambda$.

Contoh 10.3 — Basis Ruang Eigen Matriks $2 \times 2$

Tentukan basis dan dimensi untuk masing-masing ruang eigen dari $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$, dengan $\lambda_1 = 4$ dan $\lambda_2 = -3$.

1. Ruang eigen $E_4$: Substitusikan $\lambda = 4$:

\[ \left[\,\begin{array}{cc|c} -1 & 2 & 0 \\ 3 & -6 & 0 \end{array}\,\right] \xrightarrow{R_2 + 3R_1} \left[\,\begin{array}{cc|c} \color{#2c6e49}{-1} & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\,\right] \implies x_1 = 2x_2 \]

\[ \mathbf{x} = t\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix} \implies \text{Basis }E_4 = \left\{\begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}, \quad \dim(E_4) = 1 \]

2. Ruang eigen $E_{-3}$: Substitusikan $\lambda = -3$:

\[ \left[\,\begin{array}{cc|c} 6 & 2 & 0 \\ 3 & 1 & 0 \end{array}\,\right] \xrightarrow{R_2 - \tfrac{1}{2}R_1} \left[\,\begin{array}{cc|c} \color{#2c6e49}{6} & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\,\right] \implies x_2 = -3x_1 \]

\[ \mathbf{x} = s\begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix} \implies \text{Basis }E_{-3} = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}\right\}, \quad \dim(E_{-3}) = 1 \]

Catatan: vektor eigen bersifat tunggal hingga perkalian skalar non-nol — vektor $\begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}$ di atas ekuivalen dengan $\begin{bmatrix} -1 \\ 3 \end{bmatrix}$ dari Contoh 10.1 (keduanya searah).

Contoh 10.3b — Ruang Eigen Matriks $3 \times 3$ dengan Nilai Eigen Berulang

Hitunglah nilai eigen dan ruang eigen dari:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix} \]

Langkah 1 — Persamaan karakteristik: Karena matriks bersifat blok-diagonal, determinannya adalah hasil kali determinan tiap blok:

\[ \det(A - \lambda I) = \det\begin{bmatrix} 2-\lambda & -1 \\ -1 & 2-\lambda \end{bmatrix} \cdot (3 - \lambda) = \bigl[(2-\lambda)^2 - 1\bigr](3-\lambda) \]

\[ = (\lambda^2 - 4\lambda + 3)(3 - \lambda) = (\lambda - 1)(\lambda - 3)(3 - \lambda) = -(\lambda - 1)(\lambda - 3)^2 = 0 \]

Nilai eigen: $\lambda_1 = 1$ (muncul sekali), $\lambda_2 = 3$ (muncul dua kali — akar berulang).

Langkah 2 — Ruang eigen $E_1$: $(A - I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$:

\[ \left[\,\begin{array}{ccc|c} 1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 2 & 0 \end{array}\,\right] \xrightarrow{R_2 + R_1} \left[\,\begin{array}{ccc|c} \color{#2c6e49}{1} & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{#2c6e49}{2} & 0 \end{array}\,\right] \]

Dari baris 1: $x_1 = x_2$. Dari baris 3: $x_3 = 0$. Parameter bebas: $x_2 = t$.

\[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} t \\ t \\ 0 \end{bmatrix} = t\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \implies \text{Basis }E_1 = \left\{\begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right\}, \quad \dim(E_1) = 1 \]

Langkah 3 — Ruang eigen $E_3$: $(A - 3I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$:

\[ \left[\,\begin{array}{ccc|c} -1 & -1 & 0 & 0 \\ -1 & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\,\right] \xrightarrow{R_2 - R_1} \left[\,\begin{array}{ccc|c} \color{#2c6e49}{-1} & -1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\,\right] \]

Baris 1: $x_1 = -x_2$. Dua parameter bebas: $x_2 = s$, $x_3 = t$.

\[ \mathbf{x} = \begin{bmatrix} -s \\ s \\ t \end{bmatrix} = s\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} + t\begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \implies \text{Basis }E_3 = \left\{\begin{bmatrix} -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix},\; \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}\right\}, \quad \dim(E_3) = 2 \]

Observasi penting: Meskipun $\lambda = 3$ berulang (muncul dua kali dalam polinomial karakteristik), ruang eigennya tetap berdimensi 2 — sama dengan multiplisitas aljabarnya. Ini berarti matriks masih dapat didiagonalkan (lihat §10.7). Total vektor eigen bebas linear: $1 + 2 = 3 = n$ ($\checkmark$). ∎

10.4 Sifat Aljabar pada Matriks Khusus

Teorema 10.2 — Spektrum Nilai Eigen Matriks Segitiga dan Diagonal

Jika $A$ berukuran $n \times n$ bertindak sebagai matriks segitiga atas, segitiga bawah, atau diagonal murni, maka nilai-nilai eigen dari $A$ adalah entri-entri pada diagonal utamanya.

Contoh 10.4 — Identifikasi Nilai Eigen Instan Secara Visual

\[ A = \begin{bmatrix} \color{#dc2626}{5} & 2 & 1 \\ 0 & \color{#dc2626}{-1} & 4 \\ 0 & 0 & \color{#dc2626}{2} \end{bmatrix} \implies \lambda_1 = 5,\quad \lambda_2 = -1,\quad \lambda_3 = 2 \;\; \square \]

Contoh 10.4b — Nilai Eigen $\lambda = 0$ dan Koneksi Singularitas

Hitunglah nilai eigen dari $A = \begin{bmatrix} 2 & 4 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$, lalu analisis koneksi antara $\lambda = 0$ dengan status invertibilitas matriks.

Persamaan karakteristik: $\text{tr}\,A = 4$, $\det(A) = 4 - 4 = 0$. Sehingga:

\[ \lambda^2 - 4\lambda + 0 = 0 \implies \lambda(\lambda - 4) = 0 \implies \lambda_1 = 0,\quad \lambda_2 = 4 \]

Koneksi singularitas: Karena $\lambda = 0$ adalah nilai eigen, maka $\det(A - 0 \cdot I) = \det(A) = 0$ — matriks $A$ bersifat singular (tidak invertibel). Verifikasi langsung: $\det(A) = 2(2) - 4(1) = 0$ (\checkmark).

Ruang eigen $E_0$ (yang sama dengan $\text{Nul}(A)$):

\[ \left[\,\begin{array}{cc|c} 2 & 4 & 0 \\ 1 & 2 & 0 \end{array}\,\right] \xrightarrow{R_2 - \tfrac{1}{2}R_1} \left[\,\begin{array}{cc|c} \color{#2c6e49}{2} & 4 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\,\right] \implies x_1 = -2x_2 \]

\[ E_0 = \left\{t\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}\right\} = \text{Nul}(A) \]

Interpretasi fisik: Vektor-vektor dalam $E_0$ adalah vektor-vektor yang "dimusnahkan" oleh matriks $A$ — tepat sama dengan definisi ruang nul. Ini membuktikan secara eksplisit bahwa $E_0 = \ker(A) = \text{Nul}(A)$. ∎

Koneksi Struktural: $\lambda = 0$ $\iff$ Matriks Singular

Dari $\det(A - \lambda I) = 0$, substitusi $\lambda = 0$ menghasilkan $\det(A) = 0$. Sebaliknya, jika $\det(A) = 0$ maka $\lambda = 0$ memenuhi persamaan karakteristik. Jadi: $\lambda = 0$ adalah nilai eigen $\iff$ $A$ bersifat singular. Pernyataan ini melengkapi rantai Teorema Invertibel Matriks dengan kriteria spektral.

10.5 Diagonalisasi: Syarat dan Dekomposisi

Definisi 10.3 — Matriks Dapat Didiagonalkan (Diagonalizable)

Matriks persegi $A$ berukuran $n \times n$ dikatakan dapat didiagonalkan jika terdapat matriks invertibel $P$ sedemikian sehingga:

\[ P^{-1}AP = D \quad\text{atau secara ekuivalen}\quad A = PDP^{-1} \]

di mana $D$ adalah matriks diagonal.

Teorema 10.3 — Syarat Kecukupan Vektor Eigen Independen

$A$ dapat didiagonalkan jika dan hanya jika $A$ memiliki tepat $n$ vektor eigen yang bebas linear.

Konstruksi komponen:

$P = \begin{bmatrix} \mathbf{x}_1 & \mathbf{x}_2 & \cdots & \mathbf{x}_n \end{bmatrix}$ — vektor eigen sebagai kolom.
$D = \text{diag}(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n)$ — nilai eigen pada diagonal, urutannya harus cocok dengan kolom $P$.

Contoh 10.5 — Dekomposisi Diagonalisasi $A = PDP^{-1}$

Diagonalkan $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$ menggunakan hasil dari Contoh 10.2 dan 10.3.

Langkah 1: Kumpulkan pasangan eigen:

$\lambda_1 = 4$, $\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \end{bmatrix}$
$\lambda_2 = -3$, $\mathbf{x}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ -3 \end{bmatrix}$

Langkah 2: Konstruksi $P$ dan $D$:

\[ P = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}, \qquad D = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 0 & -3 \end{bmatrix} \]

Langkah 3: Hitung $P^{-1}$:

\[ P^{-1} = \frac{1}{-7}\begin{bmatrix} -3 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} = \frac{1}{7}\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} \]

Langkah 4: Verifikasi via $AP = PD$ (menghindari pecahan):

\[ AP = \begin{bmatrix} 8 & -3 \\ 4 & 9 \end{bmatrix} = PD \;\checkmark \qquad \implies \qquad A = PDP^{-1} \;\checkmark \;\; \square \]

Contoh 10.5b — Diagonalisasi Matriks $3 \times 3$

Diagonalkan $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 & 2 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}$.

Langkah 1 — Nilai eigen: Karena $A$ segitiga atas, baca langsung dari diagonal: $\lambda_1 = 1$, $\lambda_2 = 3$, $\lambda_3 = 2$ (semua berbeda $\Rightarrow$ dijamin diagonalizable).

Langkah 2 — Vektor eigen:

$\lambda = 1$: $(A - I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$

\[ \left[\,\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\,\right] \xrightarrow{R_2 - R_1} \left[\,\begin{array}{ccc|c} 0 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & -2 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 \end{array}\,\right] \xrightarrow{R_3 + \tfrac{1}{2}R_2} \left[\,\begin{array}{ccc|c} 0 & \color{#2c6e49}{2} & 2 & 0 \\ 0 & 0 & \color{#dc2626}{-2} & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\,\right] \]

$2x_2 + 2x_3 = 0$ dan $-2x_3 = 0 \implies x_2 = 0,\; x_3 = 0$.

$\mathbf{x}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}$ (ambil $x_1 = 1$)

$\lambda = 3$: $(A - 3I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$

\[ \left[\,\begin{array}{ccc|c} -2 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & -1 & 0 \end{array}\,\right] \xrightarrow[R_3 \to -R_3]{R_1 + 2R_3} \left[\,\begin{array}{ccc|c} \color{#2c6e49}{-2} & 2 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & \color{#2c6e49}{1} & 0 \end{array}\,\right] \]

$-2x_1 + 2x_2 = 0 \implies x_1 = x_2$, dan $x_3 = 0$.

$\mathbf{x}_2 = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ (ambil $x_2 = 1$)

$\lambda = 2$: $(A - 2I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$

\[ \left[\,\begin{array}{ccc|c} -1 & 2 & 2 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\,\right] \xrightarrow{R_1 - 2R_2} \left[\,\begin{array}{ccc|c} \color{#2c6e49}{-1} & 0 & 2 & 0 \\ 0 & \color{#2c6e49}{1} & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 \end{array}\,\right] \implies x_1 = 2x_3,\; x_2 = 0 \]

$\mathbf{x}_3 = \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ (ambil $x_3 = 1$)

Langkah 3 — Konstruksi $P$, $D$, dan $P^{-1}$:

\[ P = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad D = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \]

Karena $P$ segitiga atas dengan diagonal 1, $\det(P) = 1$ dan inversnya mudah dihitung:

\[ P^{-1} = \begin{bmatrix} 1 & -1 & -2 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Verifikasi cepat $AP = PD$:

\[ AP = \begin{bmatrix} 1 & 3 & 4 \\ 0 & 3 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} = PD \;\checkmark \;\; \square \]

10.6 Perhitungan Kuasa Matriks ($A^k$)

Salah satu aplikasi paling menakjubkan dari diagonalisasi adalah efisiensi ekstrem saat menghitung pangkat tinggi matriks. Jika $A = PDP^{-1}$, maka:

\[ A^2 = PDP^{-1}\,PDP^{-1} = PD(P^{-1}P)DP^{-1} = PD^2P^{-1} \]

Dengan induksi: $A^k = PD^kP^{-1}$, di mana $D^k$ hanya memerlukan pemangkatan entri diagonal.

Teorema 10.4 — Formulasi Kuasa Matriks via Diagonalisasi

Jika $A = PDP^{-1}$, maka untuk setiap bilangan bulat $k \geq 1$:

\[ A^k = P\,D^k\,P^{-1}, \qquad D^k = \text{diag}(\lambda_1^k,\, \lambda_2^k,\, \ldots,\, \lambda_n^k) \]

Contoh 10.6 — Perhitungan Kilat $A^5$

Hitunglah $A^5$ untuk $A = \begin{bmatrix} 3 & 2 \\ 3 & -2 \end{bmatrix}$ menggunakan dekomposisi dari Contoh 10.5.

Langkah 1: $D^5 = \begin{bmatrix} 4^5 & 0 \\ 0 & (-3)^5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 1024 & 0 \\ 0 & -243 \end{bmatrix}$.

Langkah 2: Hitung $PD^5P^{-1}$:

\[ PD^5 = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 1 & -3 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 1024 & 0 \\ 0 & -243 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2048 & -243 \\ 1024 & 729 \end{bmatrix} \]

\[ A^5 = \frac{1}{7}\begin{bmatrix} 2048 & -243 \\ 1024 & 729 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix} = \frac{1}{7}\begin{bmatrix} 5901 & 2534 \\ 3801 & -434 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 843 & 362 \\ 543 & -62 \end{bmatrix} \;\; \square \]

10.7 Multiplisitas Aljabar vs Multiplisitas Geometris

Masalah pelik muncul ketika polinomial karakteristik menghasilkan akar berulang. Kondisi ini memicu benturan antara dua jenis dimensi yang disebut multiplisitas.

Definisi 10.4 — Multiplisitas Aljabar ($m_a$)

Multiplisitas Aljabar dari $\lambda$ adalah frekuensi kemunculan $\lambda$ sebagai akar persamaan karakteristik — yaitu pangkat tertinggi dari faktor $(\lambda_i - \lambda)$ dalam polinomial karakteristik.

Definisi 10.5 — Multiplisitas Geometris ($m_g$)

Multiplisitas Geometris dari $\lambda$ adalah dimensi ruang eigen: $m_g(\lambda) = \dim(E_\lambda) = \dim(\ker(A - \lambda I))$.

Teorema 10.5 — Ketaksamaan Multiplisitas dan Kriteria Diagonalisasi

Untuk setiap nilai eigen $\lambda$:

\[ 1 \;\leq\; m_g(\lambda) \;\leq\; m_a(\lambda) \]

Kriteria mutlak: $A$ dapat didiagonalkan $\iff$ $m_g(\lambda) = m_a(\lambda)$ untuk setiap nilai eigen. Jika ada satu saja $\lambda$ dengan $m_g(\lambda) < m_a(\lambda)$, maka $A$ adalah matriks cacat (defective) dan gagal didiagonalkan.

Contoh 10.7a — Matriks Cacat: Analisis Kegagalan Diagonalisasi

Analisis status diagonalisasi dari $A = \begin{bmatrix} 3 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix}$.

Langkah 1 — Nilai eigen: $A$ segitiga atas, sehingga $\lambda = 3$ (muncul dua kali). $m_a(3) = 2$.

Langkah 2 — Ruang eigen $E_3$: $(A - 3I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$:

\[ \left[\,\begin{array}{cc|c} 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{array}\,\right] \implies x_2 = 0, \quad x_1 \text{ bebas} \]

\[ E_3 = \left\{t\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right\}, \qquad m_g(3) = \dim(E_3) = 1 \]

Langkah 3 — Verdict:

\[ m_g(3) = 1 \;<\; m_a(3) = 2 \]

Karena multiplisitas geometris lebih kecil dari multiplisitas aljabar, matriks $A$ hanya menghasilkan 1 vektor eigen bebas linear, padahal dibutuhkan 2 untuk diagonalisasi. Maka $A$ diklasifikasikan sebagai matriks cacat dan tidak dapat didiagonalkan.

Interpretasi geometris: Vektor eigen $\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ menunjukkan bahwa hanya vektor sepanjang sumbu-$x$ yang "selamat" dari transformasi ini tanpa berubah arah. Vektor mana pun yang memiliki komponen-$y$ non-nol akan mengalami perubahan arah — dan tidak ada basis eigen yang cukup untuk menangkap seluruh ruang. ∎

Kapan Akar Berulang Tidak Bermasalah?

Contoh 10.3b menunjukkan bahwa akar berulang tidak selalu menyebabkan kegagalan diagonalisasi. Matriks $\begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & 0 \\ 0 & 0 & 3 \end{bmatrix}$ memiliki $\lambda = 3$ dengan $m_a = 2$ tetapi $m_g = 2$ juga — sehingga tetap diagonalizable. Akar berulang hanya bermasalah jika $m_g < m_a$.

Aturan praktis: jika semua nilai eigen berbeda (distinct), maka $m_g = m_a = 1$ otomatis untuk setiap $\lambda$, dan matriks selalu dapat didiagonalkan (karena total vektor eigen bebas = $n$).

Perspektif Aljabar Bab Ini

Bab 10 merupakan puncak menara aljabar linear untuk kategori ruang vektor statis dan fungsional. Konsep nilai eigen dan vektor eigen memisahkan elemen spasial geometri dari kerumitan angka matriks acak, memungkinkannya diekstraksi menjadi kerangka kerja modular yang murni.

Teorema Invertibel Matriks kini mencapai bentuk paripurna dengan kriteria spektral: matriks bersifat non-singular jika dan hanya jika nol bukan nilai eigennya. Penemuan kriteria benturan dimensi antara multiplisitas aljabar dan geometris mempertegas batas kelemahan dekomposisi $A = PDP^{-1}$. Untuk matriks-matriks cacat yang gagal didiagonalkan, para ilmuwan komputer mengembangkan konsep Bentuk Kanonik Jordan. Namun, bagi para insinyur, keterbatasan ini akan dipecahkan secara spektakuler lewat Bab 16 (Dekomposisi Nilai Singular / SVD), yang bertindak sebagai generalisasi tertinggi dari konsep nilai eigen untuk sebarang matriks.

Latihan Evaluasi Akhir Bab 10

Hitunglah persamaan karakteristik, himpunan nilai eigen, dan basis untuk masing-masing ruang eigen dari:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} \]
Petunjuk: gunakan jalan pintas trace/determinan.
Tentukan seluruh nilai eigen secara visual dari matriks segitiga bawah berikut, lalu verifikasi status invertibilitasnya:
\[ A = \begin{bmatrix} 4 & 0 & 0 \\ -2 & 0 & 0 \\ 5 & 1 & -3 \end{bmatrix} \]
Konstruksikan $P$ dan $D$ untuk dekomposisi $A = PDP^{-1}$ dari $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 6 & -1 \end{bmatrix}$.
Manfaatkan hasil diagonalisasi dari soal nomor 3 untuk menghitung $A^4$.
Tinjau matriks $A = \begin{bmatrix} -2 & 1 \\ 0 & -2 \end{bmatrix}$:
- (a) Tentukan $m_a$ dan $m_g$ untuk setiap nilai eigen.
- (b) Apakah $A$ dapat didiagonalkan? Jelaskan.
Tinjau matriks $3 \times 3$ berikut:
\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 1 & 0 \\ 1 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix} \]
- (a) Tentukan nilai eigen, $m_a$, dan $m_g$ untuk masing-masing.
- (b) Meskipun terdapat akar berulang, buktikan bahwa matriks ini tetap dapat didiagonalkan. (Petunjuk: hitung ruang eigen untuk setiap $\lambda$ dan bandingkan $m_g$ dengan $m_a$.)
Soal Pemikiran: Jika $\lambda$ adalah nilai eigen dari matriks invertibel $A$ dengan vektor eigen $\mathbf{x}$, buktikan bahwa $\frac{1}{\lambda}$ adalah nilai eigen dari $A^{-1}$ dengan vektor eigen yang sama.