Bab 3

Operasi Matriks

Bab 2 menunjukkan bahwa matriks adalah alat untuk menyimpan dan memanipulasi sistem persamaan linear. Bab ini mendefinisikan tiga operasi aljabar pada matriks — penjumlahan, perkalian skalar, dan perkalian matriks — beserta sifat-sifatnya yang sering berbeda dari aritmetika biasa.

3.1 Penjumlahan dan Perkalian Skalar

Definisi 3.1 — Penjumlahan Matriks

Jika $A$ dan $B$ sama ukurannya ($m \times n$), maka jumlahan $A + B$ adalah matriks $m \times n$ yang entri-entrinya adalah jumlahan entri bersesuaian:

\[ (A + B)_{ij} = a_{ij} + b_{ij} \]

Definisi 3.2 — Perkalian Skalar

Jika $A$ berukuran $m \times n$ dan $k$ adalah skalar, maka $kA$ adalah matriks yang setiap entrinya dikalikan $k$:

\[ (kA)_{ij} = k \cdot a_{ij} \]

Definisi 3.3 — Negatif Matriks

Negatif matriks didefinisikan sebagai $-1 \cdot A$, yang ekuivalen dengan mengubah tanda setiap entri:

\[ (-A)_{ij} = -a_{ij} \]

Teorema 3.1 — Sifat Penjumlahan dan Perkalian Skalar

Untuk matriks $A, B, C$ berukuran sama dan skalar $k, h$:

$A + B = B + A$ (komutatif)
$(A + B) + C = A + (B + C)$ (asosiatif)
$k(A + B) = kA + kB$
$(k + h)A = kA + hA$
$k(hA) = (kh)A$
$A + \mathbf{0} = \mathbf{0} + A = A$ (matriks nol sebagai identitas penjumlahan)
$\mathbf{0}A = A\mathbf{0} = \mathbf{0}$

Contoh 3.1

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 5 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix}, \quad A + B = \begin{bmatrix} 6 & 1 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}, \quad 3A = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & 12 \end{bmatrix} \]

\[ -A = \begin{bmatrix} -1 & -2 \\ -3 & -4 \end{bmatrix}, \quad A + (-A) = \begin{bmatrix} 0 & 0 \\ 0 & 0 \end{bmatrix} = \mathbf{0} \]

3.2 Perkalian Matriks: Definisi

Definisi 3.4 — Perkalian Matriks

Jika $A$ berukuran $m \times n$ dan $B$ berukuran $n \times p$, maka perkalian $AB$ adalah matriks $m \times p$ yang entri $(i,j)$-nya adalah dot product baris ke-$i$ dari $A$ dengan kolom ke-$j$ dari $B$:

\[ (AB)_{ij} = \sum_{k=1}^{n} a_{ik}\, b_{kj} \]

Syarat ukuran: jumlah kolom $A$ harus sama dengan jumlah baris $B$. Jika tidak, perkalian tidak terdefinisi.

3.2.1 Interpretasi Baris-Kali-Kolom

Baris ke-$i$ dari $AB$ diperoleh dari baris ke-$i$ $A$ "mengalikan" seluruh kolom $B$:

\[ \text{baris ke-}i \text{ dari } AB \;=\; (\text{baris ke-}i \text{ dari } A) \cdot B \]

Contoh 3.2

Hitung baris 2 dari $AB$ jika:

\[ A = \begin{bmatrix} \color{#2c6e49}{2} & 1 & 3 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix}, \quad B = \begin{bmatrix} 1 & 4 \\ 2 & 1 \\ 3 & 0 \end{bmatrix} \]

Baris 2 dari $A$: $(0,\; -1,\; 2)$. Dot product dengan kolom 1, 2, 3 dari $B$:

\[ 0 \cdot 1 + (-1) \cdot 2 + 2 \cdot 3 = -2 + 6 = 4 \]

Sehingga baris 2 dari $AB$ adalah $(4,\; -2,\; 6)$.

3.2.2 Interpretasi Kolom

Kolom ke-$j$ dari $AB$ adalah kombinasi linear kolom-kolom $A$ dengan koefisien dari kolom ke-$j$ $B$:

\[ \text{kolom ke-}j \text{ dari } AB \;=\; b_{1j}\,(\text{kolom 1 dari } A) + b_{2j}\,(\text{kolom 2 dari } A) + \cdots + b_{nj}\,(\text{kolom } n \text{ dari } A) \]

Interpretasi ini sangat penting: jika kita memandang $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$, maka $\mathbf{b}$ adalah kombinasi linear dari kolom-kolom $A$. Ini akan menjadi sentral di Bab 7 dan 8.

Contoh 3.3 — Verifikasi Interpretasi Kolom

Dengan $A$ dan $B$ di atas, kolom 1 dari $AB$ seharusnya $1 \cdot \begin{bmatrix} 2 \\ 0 \end{bmatrix} + 4 \cdot \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix} + 3 \cdot \begin{bmatrix} 3 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 15 \\ 2 \end{bmatrix}$.

Verifikasi: hitung penuh $AB$:

\[ AB = \begin{bmatrix} 2\cdot 1+1\cdot 2+3\cdot 3 & 2\cdot 4+1\cdot 1+3\cdot 0 \\ 0\cdot 1+(-1)\cdot 2+2\cdot 3 & 0\cdot 4+(-1)\cdot 1+2\cdot 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 13 & 9 \\ -4 & -1 \end{bmatrix} \]

Kolom 1 memang $(15,\; -4)$ ✓

3.2.3 Syarat Ukuran

Peringatan Penting

Perkalian $AB$ hanya terdefinisi jika jumlah kolom $A$ sama dengan jumlah baris $B$. Jika $A$ berukuran $m \times n$ dan $B$ berukuran $r \times p$ dengan $n \neq r$, maka $AB$ tidak terdefinisi. Ini bukan "hasilnya matriks nol" — operasinya sama sekali tidak bermakna. Selalu periksa kesesuaian ukuran sebelum mengalikan.

$A$	$B$	$AB$	Terkaitan Ukuran
$m \times \color{#2c6e49}{n}$	$\color{#2c6e49}{n} \times p$	$m \times p$	✓ terdefinisi
$m \times n$	$r \times p$ dengan $\color{#dc2626}{n \neq r}$	—	tidak terdefinisi
$m \times n$	$n \times p$	$m \times p$	✓ terdefinisi (kuadrat)

3.3 Sifat-Sifat Perkalian Matriks

Teorema 3.2 — Sifat Perkalian Matriks

Untuk matriks berukuran sesuai agar operasi terdefinisi dan skalar $c$:

Asosiatif: $(AB)C = A(BC)$
Distributif (kiri): $A(B + C) = AB + AC$
Distributif (kanan):$(A + B)C = AC + BC$
Skalar: $c(AB) = (cA)B = A(cB)$

Sifat (1) memungkinkan kita menulis $ABCD$ tanpa tanda kurung. Sifat (2) dan (3) analog dengan distributif untuk bilangan, tetapi hanya distributif satu sisi — tidak ada "FOIL" (First Outside Inside Last) untuk matriks.

3.3.1 Non-Komutatif

Peringatan Kritis

Pada umumnya, $AB \neq BA$. Perkalian matriks tidak komutatif. Ini adalah perbedaan paling fundamental dari perkalian bilangan real.

Contoh 3.4 — Non-Komutatif

\[ AB = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 4 & 3 \end{bmatrix}, \qquad BA = \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \]

$AB \neq BA$. Bahkan ketika kedua perkalian terdefinisi (matriks persegi), hasilnya biasanya berbeda — kecuali dalam kasus khusus (Bab 10).

Contoh 3.5 — Satu-Satunya Kasus Komutatif

\[ \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 8 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 0 \\ 0 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \]

Dua matriks diagonal komutatif jika dan hanya jika mereka berbagi setiap posisi diagonal yang sama. Tetapi ini pengecualian, bukan aturan umum.

3.3.2 Pembatalan Tidak Berlaku

Peringatan Kritis

Jika $AB = AC$ dan $A \neq \mathbf{0}$, bukan berarti $B = C$. Pada aritmetika biasa, kita bisa "membatikan" kedua ruas dengan $A^{-1}$ untuk mendapatkan $B = C$. Pada matriks, invers mungkin tidak ada (Bab 4) — dan bahkan jika ada, "membatikan" tidak selalu valid karena $A^{-1}$ mungkin bukan unik.

Contoh 3.6 — Kegagalan Hukum Pembatalan (Cancellation Law)

Dalam aljabar matriks, jika $AB = AC$ dan $A \neq \mathbf{0}$, kita tidak bisa menyimpulkan bahwa $B = C$. Perhatikan perkalian berikut:

\[ \begin{align*} \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 8 & 12 \end{bmatrix} \\ \begin{bmatrix} 1 & 1 \\ 2 & 2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} &= \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 8 & 12 \end{bmatrix} \end{align*} \]

Meskipun kedua perkalian menghasilkan matriks yang sama ($AB = AC = \begin{bmatrix} 4 & 6 \\ 8 & 12 \end{bmatrix}$) dan matriks $A$ bukan matriks nol, kita dapat melihat bahwa:

\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix} \neq \begin{bmatrix} 2 & 5 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \]

Artinya, hukum pembatalan kiri gagal beroperasi di sini. Hal ini terjadi karena matriks pembagi ($A$) tidak memiliki invers (matriks singular).

Kapan Pembatalan Valid?

Pembatalan $AB = AC \Rightarrow B = C$ valid jika $A$ invertibel (Bab 4). Dalam kasus itu, $A^{-1}(AB) = A^{-1}(AC) \Rightarrow B = C$. Ini menjadi teknik penting di Bab 4 untuk menyelesaikan sistem $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$: kalikan kedua ruas dengan $A^{-1}$ untuk mendapatkan $\mathbf{x} = A^{-1}\mathbf{b}$.

Teorema 3.3 — Transpose dari Perkalian Matriks

Untuk dua buah matriks $A$ dan $B$ dengan ukuran yang memenuhi syarat perkalian:

\[ (AB)^T = B^T A^T \]

Perhatikan bahwa urutan perkalian matriks menjadi terbalik setelah dikenakan operasi transpose. Penataan urutan ini bukan sebuah kebetulan—melainkan konsekuensi matematis langsung dari pemetaan entri indeks di mana baris ke-$i$ dari produk perkalian dibentuk oleh kombinasi linear kolom ke-$j$ dari elemen transposenya.

Contoh 3.7 — Verifikasi $(AB)^T = B^T A^T$

Mari kita buktikan validitas Teorema 3.3 secara numerik menggunakan matriks $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} 2 & 0 \\ 1 & 4 \end{bmatrix}$.

Langkah 1: Hitung produk perkalian matriks $AB$, lalu lakukan operasi transpose:

\[ AB = \begin{bmatrix} 1(2) + 3(1) & 1(0) + 3(4) \\ 2(2) + 1(1) & 2(0) + 1(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 12 \\ 5 & 4 \end{bmatrix} \]

\[ (AB)^T = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 12 & 4 \end{bmatrix} \]

Langkah 2: Transpose masing-masing matriks awal, lalu kalikan dengan urutan terbalik $B^T A^T$:

\[ B^T = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 4 \end{bmatrix}, \qquad A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 1 \end{bmatrix} \]

\[ B^T A^T = \begin{bmatrix} 2(1) + 1(3) & 2(2) + 1(1) \\ 0(1) + 4(3) & 0(2) + 4(1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 12 & 4 \end{bmatrix} \]

Perhatikan bahwa hasil akhir pada Langkah 1 dan Langkah 2 menghasilkan matriks yang identik secara sempurna:

\[ (AB)^T = B^T A^T = \begin{bmatrix} 5 & 5 \\ 12 & 4 \end{bmatrix} \]

Langkah ini menunjukkan bahwa hukum pembalikan urutan elemen transpose berlaku secara universal tanpa memedulikan apakah matriks awal bersifat simetris atau tidak.

Ringkasan Sifat yang Berbeda dari Aritmetika

Non-komutatif	$AB \neq BA$ secara umum
Pembatalan gagal	$AB = AC \not\Rightarrow B = C$ (tanpa syarat)
FOIL tidak berlaku	$A(B + C) \neq AB + AC$ secara umum
Pangkat terbalik	$(AB)^n \neq A^n B^n$ secara umum
Transpos terbalik$(AB)^T = B^T A^T$ (bukan $A^T B^T$)

3.4 Transpose dan Sifatnya

Transpose diperkenalkan di Bab 1 sebagai penukaran baris dan kolom. Sekarang kita letakkan sifat-sifatnya secara sistematis dalam konteks operasi aljabar.

Teorema 3.4 — Sifat Transpose

Untuk matriks berukuran sesuai dan skalar $k$:

$(A^T)^T = A$ (transpose dua kali = matriks asli)
$(A + B)^T = A^T + B^T$
$(kA)^T = kA^T$
$(AB)^T = B^T A^T$ (urutan terbalik)

Contoh 3.8 — Sifat Linearitas Transpose Matriks

Mari kita verifikasi sifat-sifat linearitas operasi transpose menggunakan dua matriks persegi berukuran $2 \times 2$ berikut:

\[ A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 2 & -1 \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} 4 & 1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} \]

Langkah 1: Verifikasi Sifat Penjumlahan $(A + B)^T = A^T + B^T$

Pertama, jumlahkan kedua matriks lalu lakukan transpose pada hasilnya:

\[ A + B = \begin{bmatrix} 1+4 & 3+1 \\ 2+0 & -1+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 4 \\ 2 & 1 \end{bmatrix} \]

\[ (A + B)^T = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \]

Kedua, transpose masing-masing matriks secara individual lalu jumlahkan hasilnya:

\[ A^T = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix}, \qquad B^T = \begin{bmatrix} 4 & 0 \\ 1 & 2 \end{bmatrix} \]

\[ A^T + B^T = \begin{bmatrix} 1+4 & 2+0 \\ 3+1 & -1+2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 & 2 \\ 4 & 1 \end{bmatrix} \]

Langkah 2: Verifikasi Sifat Perkalian Skalar $(kA)^T = kA^T$

Mari kita uji menggunakan skalar $k = 3$. Kalikan matriks dengan skalar terlebih dahulu, lalu lakukan transpose:

\[ 3A = \begin{bmatrix} 3(1) & 3(3) \\ 3(2) & 3(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 9 \\ 6 & -3 \end{bmatrix} \]

\[ (3A)^T = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & -3 \end{bmatrix} \]

Sekarang, kalikan hasil transpose $A^T$ secara langsung dengan skalar tersebut:

\[ 3A^T = 3 \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & -1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3(1) & 3(2) \\ 3(3) & 3(-1) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 & 6 \\ 9 & -3 \end{bmatrix} \]

Kedua pembuktian numerik di atas menunjukkan dengan jelas bahwa operasi transpose bersifat linier: mendahulukan penjumlahan atau perkalian skalar memberikan hasil yang identik secara mutlak dengan melakukan transpose di awal langkah.

Hubungan Transpose dengan Simetri

Sifat $(A^T)^T = A$ selalu benar untuk setiap matriks. Sifat $A^T = A$ hanya benar untuk matriks simetris. Jadi "$A$ simetris" $\iff$ "$A^T = A$". Ini memberikan cara cepat memeriksa simetri: transpose matriks, bandingkan dengan aslinya.

3.5 Matriks Simetris, Antisimetris, dan Segitiga

3.5.1 Matriks Simetris

Sudah dibahas di Bab 1. Sekar kita perhatikan bahwa sifat simetris kompat dengan operasi aljabar dalam kondisi tertentu:

Teorema 3.5

Jika $A$ dan $B$ matriks simetris berukuran sama, maka:

$A + B$ simetris
$kA$ simetris untuk setiap skalar $k$
$(AB)^T = AB$ — produk matriks simetris tetap simetris

3.5.2 Matriks Antisimetris

Definisi 3.5 — Matriks Antisimetris

Matriks $A$ disebut antisimetris jika $A^T = -A$, atau ekuivalen $a_{ji} = -a_{ij}$ untuk semua $i, j$.

Contoh 3.9

\[ A = \begin{bmatrix} 0 & -2 \\ 2 & 0 \end{bmatrix}, \qquad A^T = \begin{bmatrix} 0 & 2 \\ -2 & 0 \end{bmatrix} = -A \;\; \checkmark \]

Diagonal utama matriks antisimetris selalu nol (karena $a_{ii} = -a_{ii} \Rightarrow a_{ii} = 0$).

3.5.3 Matriks Segitiga

Definisi 3.6

Matriks $U$ disebut segitiga atas jika $u_{ij} = 0$ untuk $i > j$. Matriks $L$ disebut segitiga bawah jika $l_{ij} = 0$ untuk $i < j$.

Teorema 3.6 — Sifat Matriks Segitiga

Perkalian antara dua matriks segitiga atas akan selalu menghasilkan matriks segitiga atas (hal yang sama berlaku secara analog untuk matriks segitiga bawah). Selain itu, nilai determinan dari matriks segitiga mana pun adalah hasil kali dari seluruh elemen diagonal utamanya.

Contoh 3.10 — Verifikasi Produk dan Determinan Matriks Segitiga

Mari kita kalikan dua buah matriks segitiga atas berukuran $3 \times 3$ berikut:

\[ \underbrace{\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 5 & -1 \\ 0 & 0 & 4 \end{bmatrix}}_{A \text{ (Segitiga Atas)}} \;\cdot\; \underbrace{\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 \\ 0 & 3 & 4 \\ 0 & 0 & 2 \end{bmatrix}}_{B \text{ (Segitiga Atas)}} = \underbrace{\begin{bmatrix} 2 & 13 & 14 \\ 0 & 15 & 18 \\ 0 & 0 & 8 \end{bmatrix}}_{C \text{ (Segitiga Atas)}} \]

Analisis Hasil:

Sifat Struktur: Perhatikan bahwa hasil perkalian matriks $C$ terbukti mempertahankan struktur matriks segitiga atas, di mana semua entri di bawah diagonal utama bernilai nol secara sempurna.
Sifat Determinan: Berdasarkan teorema, kita dapat menghitung determinan matriks hasil perkalian ($C$) secara langsung dari elemen diagonal utamanya tanpa ekspansi kofaktor: \[ \det(C) = 2 \times 15 \times 8 = 240 \]

Sebagai alternatif verifikasi, nilai ini juga konsisten dengan sifat determinan perkalian matriks $\det(C) = \det(A) \times \det(B)$, di mana $\det(A) = 2 \cdot 5 \cdot 4 = 40$ dan $\det(B) = 1 \cdot 3 \cdot 2 = 6$. Perkalian keduanya memberikan hasil yang sama: $40 \times 6 = 240$.

3.5.4 Matriks Identitas

Definisi 3.7 — Matriks Identitas $I_n$

Matriks identitas $I_n$ adalah matriks persegi $n \times n$ dengan 1 di setiap posisi diagonal dan 0 di luar diagonal.

Teorema 3.7

Untuk matriks $A$ berukuran $m \times n$:

$I_m A = A$ (identitas kiri)
$A I_n = A$ (identitas kanan)

$I_n$ memainkan peran yang sama seperti angka 1 dalam aritmetika. Ini bukan kebetulan — di Bab 4 kita akan melihat bahwa matriks yang memiliki invers adalah tepat matriks yang ketika dikalikan dengan $I$ menghasilkan $I$.

3.6 Trace dan Perkalian Blok

Trace

Definisi 3.8 — Trace

Trace matriks persegi $A$, ditulis $\text{tr}(A)$, adalah jumlah entri diagonal utamanya:

\[ \text{tr}(A) = \sum_{i=1}^{n} a_{ii} \]

Teorema 3.8 — Sifat-Sifat Trace Matriks

Untuk matriks persegi $A$ dan $B$ berukuran sama, serta skalar $k \in \mathbb{R}$, berlaku sifat-sifat trace berikut:

$\text{tr}(A^T) = \text{tr}(A)$
$\text{tr}(A + B) = \text{tr}(A) + \text{tr}(B)$
$\text{tr}(kA) = k \cdot \text{tr}(A)$
$\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ (Sifat Siklik)

Contoh 3.11 — Menguji Nilai Dasar dan Sifat Siklik Trace

1. Perhitungan Dasar Trace Matriks Persegi:

Trace hanyalah jumlah dari semua entri sepanjang diagonal utama pada matriks persegi.

\[ \text{tr}\begin{bmatrix} \color{#2c6e49}{3} & -1 \\ 2 & \color{#2c6e49}{4} \end{bmatrix} = 3 + 4 = 7 \]

2. Verifikasi Sifat Siklik $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ :

Misalkan kita memiliki dua matriks persegi $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 4 \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} 5 & 6 \\ 7 & 8 \end{bmatrix}$.

Pertama, kita hitung produk matriks $AB$ lalu ambil nilai trace-nya:

\[ AB = \begin{bmatrix} 1(5)+2(7) & 1(6)+2(8) \\ 3(5)+4(7) & 3(6)+4(8) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{#2c6e49}{19} & 22 \\ 43 & \color{#2c6e49}{50} \end{bmatrix} \]

\[ \text{tr}(AB) = 19 + 50 = 69 \]

Kedua, kita balik urutan perkaliannya menjadi $BA$ lalu ambil nilai trace-nya:

\[ BA = \begin{bmatrix} 5(1)+6(3) & 5(2)+6(4) \\ 7(1)+8(3) & 7(2)+8(4) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \color{#2c6e49}{23} & 34 \\ 31 & \color{#2c6e49}{46} \end{bmatrix} \]

\[ \text{tr}(BA) = 23 + 46 = 69 \]

Perhatikan bahwa meskipun hasil perkalian matriksnya sendiri tidak sama ($AB \neq BA$), nilai trace dari kedua produk tersebut terbukti sama secara mutlak ($\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA) = 69$). Sifat ini sangat penting karena menunjukkan bahwa trace bersifat invariant terhadap perubahan urutan siklik perkalian.

Perkalian Blok (Block Multiplication)

Jika matriks berukuran besar dipartisi menjadi beberapa sub-matriks kecil (blok), kita dapat melakukan operasi perkalian secara blok-per-blok—seolah-olah setiap sub-matriks tersebut bertindak sebagai elemen skalar tunggal—selama ukuran antar-blok memenuhi syarat kompatibilitas perkalian.

Definisi 3.9 — Perkalian Blok

Jika matriks $A$ dan $B$ dipartisi menjadi sub-matriks sebagai berikut:

\[ A = \begin{bmatrix} A_{11} & A_{12} \\ A_{21} & A_{22} \end{bmatrix}, \qquad B = \begin{bmatrix} B_{11} & B_{12} \\ B_{21} & B_{22} \end{bmatrix} \]

Maka hasil kali blok $AB$ dapat dihitung langsung dengan aturan baris-kolom standar:

\[ AB = \begin{bmatrix} A_{11}B_{11} + A_{12}B_{21} & A_{11}B_{12} + A_{12}B_{22} \\ A_{21}B_{11} + A_{22}B_{21} & A_{21}B_{12} + A_{22}B_{22} \end{bmatrix} \]

Contoh 3.12 — Penerapan Perkalian Blok Matriks $4 \times 4$

Mari kita kalikan matriks $A$ dan $B$ berukuran $4 \times 4$ yang telah dipartisi menjadi blok-blok berukuran $2 \times 2$ menggunakan garis pemisah:

\[ A = \left[ \begin{array}{cc|cc} 1 & 0 & 2 & 1 \\ 0 & 1 & 0 & 3 \\ \hline 0 & 0 & 4 & 5 \\ 0 & 0 & 1 & 2 \end{array} \right] = \begin{bmatrix} I & A_{12} \\ \mathbf{0} & A_{22} \end{bmatrix}, \qquad B = \left[ \begin{array}{cc|cc} 2 & 3 & 0 & 0 \\ 1 & 4 & 0 & 0 \\ \hline 5 & 1 & 1 & 0 \\ 0 & 2 & 0 & 1 \end{array} \right] = \begin{bmatrix} B_{11} & \mathbf{0} \\ B_{21} & I \end{bmatrix} \]

Dengan memanfaatkan struktur blok khusus ini ($A_{21}=\mathbf{0}$ dan $B_{12}=\mathbf{0}$ serta blok identitas $I$), kita dapat menyederhanakan perhitungan formula rumus blok menjadi:

\[ AB = \begin{bmatrix} I \cdot B_{11} + A_{12}B_{21} & I \cdot \mathbf{0} + A_{12} \cdot I \\ \mathbf{0} \cdot B_{11} + A_{22}B_{21} & \mathbf{0} \cdot \mathbf{0} + A_{22} \cdot I \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} B_{11} + A_{12}B_{21} & A_{12} \\ A_{22}B_{21} & A_{22} \end{bmatrix} \]

Sebagai contoh sampel, kita selesaikan entri blok kanan atas secara langsung tanpa menghitung ulang elemennya, yaitu cukup menyalin ulang matriks blok $A_{12}$ asli:

\[ \text{Blok Kanan Atas} = A_{12} = \begin{bmatrix} 2 & 1 \\ 0 & 3 \end{bmatrix} \]

Mengapa Perkalian Blok Sangat Vital?

Dalam ilmu komputasi modern, memproses matriks berukuran ribuan elemen secara entry-by-entry akan memicu bottleneck performa karena keterbatasan memori utama RAM. Perkalian blok memecah matriks raksasa menjadi sub-matriks kecil yang muat ke dalam L1/L2 CPU Cache Memory yang jauh lebih cepat. Strategi arsitektur hardware ini mendasari cara kerja library komputasi performa tinggi seperti BLAS (Basic Linear Algebra Subprograms) dan sistem akselerasi kecerdasan buatan (AI) pada GPU.

Perspektif Bab Ini

Bab 3 mengungkap seluruh aljabar matriks elementer. Tiga operasi (penjumlahan, perkalian skalar, perkalian matriks) dan sifat-sifatnya membentuk fondasi untuk semua yang akan datang. Sifat $(AB)^T = B^TA^T$ (Teorema 3.3) terlihat aneh, tetapi menjadi natural saat dibandingkan dengan sifat transpose lainnya: $\text{tr}(A^T) = \text{tr}(A)$ dan $(kA)^T = kA^T$ — "segala sesuai" kecuali urutan dalam perkalian. Di Bab 4, sifat-sifat ini digabungkan menjadi teorema invertibel matriks — daftar pernyataan ekuivalen yang sangat sering dipakai sepanjang buku ini.

Latihan Evaluasi

Hitung:
- (a) $\begin{bmatrix} 3 & -1 \\ 0 & 2 \end{bmatrix} + 2\begin{bmatrix} 1 & 4 \\ -3 & 0 \end{bmatrix}$
- (b) $3\begin{bmatrix} 1 & 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} 4 & -1 \end{bmatrix}$
- (c) $-\begin{bmatrix} 0 & -1 \\ 2 & 3 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ -1 & 2 \end{bmatrix}$
Jika $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 & 2 \\ -1 & 3 & 1 \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} 2 & 1 & 0 \\ 0 & 1 & -1 \end{bmatrix}$, hitung $AB$ dan $BA$. Apakah $AB = BA$?
Jika $A = \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 3 & 6 \end{bmatrix}$ dan $AB = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 6 & k \end{bmatrix}$, tentukan $k$. (Petunjuk: hitung baris 2 dari $AB$.)
Hitung $\left(\begin{bmatrix} 1 & 2 & 3 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \end{bmatrix}\right)^T$.
Buktikan bahwa $\text{tr}(A^T) = \text{tr}(A)$ untuk $A = \begin{bmatrix} a & b \\ c & d \end{bmatrix}$.
Buktikan bahwa $\text{tr}(AB) = \text{tr}(BA)$ untuk $A = \begin{bmatrix} 1 & 0 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ dan $B = \begin{bmatrix} 4 & 5 \\ 1 & 2 \end{bmatrix}$. Verifikasi juga dengan menghitung kedua produk langsung.
Tunjukkan bahwa $(kA)^T = kA^T$ dengan $A = \begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 0 & 3 \\ 4 & 1 \end{bmatrix}$ dan $k = -2$.
Hitung menggunakan perkalian blok:
\[ \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 3 & 4 \\ 5 & 6 \end{bmatrix} \qquad\text{dan}\qquad \begin{bmatrix} 0 & 1 \\ 1 & 0 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 7 & 8 \end{bmatrix} \]
Jika $A$ dan $B$ matriks simetris, buktikan bahwa $(AB)^T = AB$.
Temukan contoh matriks $A$ dan $B$ (bukan nol, bukan identitas) sehingga $AB = \mathbf{0}$ tetapi $BA \neq \mathbf{0}$. (Petunjuk: pikirkan tentang ukuran.)
Soal pemikiran: Mengapa sifat (4) Teorema 3.3 hanya mensyaratkan "untuk matriks berukuran sesuai"? Apa yang terjadi jika $A$ berukuran $m \times n$, $B$ berukuran $n \times p$, dan $C$ berukuran $p \times q$ — apakah $(ABC)^T = C^T B^T A^T$?

Bab sebelumnya

Eliminasi Gauss dan Bentuk Eselon Baris

Bab berikutnya

Matriks Invers dan Faktorisasi LU