Bab 15

Bentuk Kuadrat & Simetris

Bab 14 mengaplikasikan proyeksi ortogonal untuk menyelesaikan masalah optimasi komputasi kuadrat terkecil pada sistem persamaan linear. Bab ini memperluas cakupan analisis dari fungsi linear menuju ekspresi polinomial berderajat dua yang disebut bentuk kuadrat (quadratic form). Melalui pilar utama Teorema Spektral Matriks Simetris, kita akan mengeksploitasi karakteristik luar biasa dari matriks simetris riil untuk mengeliminasi suku-suku perkalian silang yang rumit melalui diagonalisasi ortogonal. Skenario transformasi koordinat ini memungkinkan kita untuk mengklasifikasikan sifat definit permukaan, mengoptimasikan nilai ekstrem bersyarat, serta mengidentifikasi karakteristik geometris dari permukaan kuadrik secara sistematis.

15.1 Formulasi Matriks Bentuk Kuadrat

Dalam bab-bab sebelumnya, ekspresi aljabar linear selalu memuat variabel berderajat satu seperti $c_1 x_1 + c_2 x_2 + \cdots + c_n x_n$. Namun, banyak fenomena dalam mekanika teknik, optimasi multi-variabel, dan pemrosesan citra digital melibatkan suku kuadrat seperti $x_1^2$ atau suku perkalian silang seperti $x_1 x_2$. Ekspresi homogen berderajat dua ini didefinisikan secara formal sebagai bentuk kuadrat.

Definisi 15.1 — Bentuk Kuadrat (Quadratic Form)

Sebuah fungsi $Q: \mathbb{R}^n \to \mathbb{R}$ dinyatakan bertindak sebagai sebuah bentuk kuadrat jika ekspresi matematika tersebut dapat dituliskan secara universal ke dalam representasi aljabar matriks berwujud:

\[ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \]

Di mana $\mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 & \cdots & x_n \end{bmatrix}^T$ bertindak sebagai vektor variabel di dalam ruang \(\mathbb{R}^n\), dan $A$ merupakan sebuah matriks persegi berukuran $n \times n$ yang diwajibkan bersifat simetris ($A^T = A$).

Mengapa matriks $A$ harus diwajibkan bersifat simetris? Jika kita mencoba menggunakan matriks non-simetris untuk menyusun sebuah bentuk kuadrat, suku-suku perkalian silang off-diagonal akan selalu dapat digabungkan dan dibagi rata secara simetris. Untuk menjaga keunikan korespondensi satu-satu antara fungsi polinomial dengan operator matriksnya, kita menyepakati konvensi penentuan entri berikut:

  • Koefisien dari suku kuadrat murni $x_i^2$ ditempatkan langsung sepanjang entri diagonal utama pada posisi koordinat $(i,i)$.
  • Koefisien dari suku perkalian silang $x_i x_j$ (di mana $i \neq j$) dibagi dua secara merata, kemudian ditempatkan pada posisi entri off-diagonal koordinat $(i,j)$ dan $(j,i)$.
Contoh 15.1 — Konstruksi Matriks Simetris dari Ekspresi Polinomial Dua Dimensi

Diberikan sebuah fungsi polinomial bentuk kuadrat dua variabel di dalam ruang \(\mathbb{R}^2\) memuat rumusan operasi: $Q(\mathbf{x}) = 5x_1^2 - 6x_1 x_2 + 8x_2^2$. Temukan susunan entri matriks simetris $A$ yang bersesuaian sedemikian rupa sehingga memenuhi hubungan identitas $Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$.

Penyelesaian Analitis:

Langkah 1: Pemetaan Koefisien Diagonal Utama

Identifikasi koefisien dari suku kuadrat murni pada polinomial:

  • Koefisien dari $x_1^2$ adalah $5$, sehingga entri diagonal posisi $(1,1) \implies a_{11} = 5$.
  • Koefisien dari $x_2^2$ adalah $8$, sehingga entri diagonal posisi $(2,2) \implies a_{22} = 8$.

Langkah 2: Pembagian Rata Koefisien Suku Perkalian Silang

Identifikasi koefisien dari suku perkalian silang $x_1 x_2$, yaitu $-6$. Bagi koefisien tersebut dengan dua secara merata:

\[ a_{12} = a_{21} = \frac{-6}{2} = -3 \]

Tempatkan hasil pembagian ini pada koordinat off-diagonal posisi $(1,2)$ dan $(2,1)$.

Langkah 3: Penyusunan Matriks dan Verifikasi Aljabar

Gabungkan seluruh komponen entri di atas menjadi matriks persegi simetris $A$:

\[ A = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 8 \end{bmatrix} \]

Mari kita uji keabsahan matriks ini menggunakan perkalian berantai matriks baris-kali-kolom standar:

\[ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 8 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} x_1 & x_2 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} 5x_1 - 3x_2 \\ -3x_1 + 8x_2 \end{bmatrix} \]
\[ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = x_1(5x_1 - 3x_2) + x_2(-3x_1 + 8x_2) = 5x_1^2 - 3x_1 x_2 - 3x_2 x_1 + 8x_2^2 = 5x_1^2 - 6x_1 x_2 + 8x_2^2 \]

Kesimpulan: Hasil perkalian matriks terbukti menghasilkan ekspresi polinomial asli secara eksak ($\checkmark$). Matriks simetris $A = \begin{bmatrix} 5 & -3 \\ -3 & 8 \end{bmatrix}$ terverifikasi sah. ∎

Contoh 15.2 — Konstruksi Matriks Simetris Tiga Variabel

Diberikan bentuk kuadrat tiga variabel: $Q(\mathbf{x}) = 3x_1^2 + 4x_2^2 + 5x_3^2 - 4x_1 x_2 + 6x_1 x_3 - 8x_2 x_3$. Tentukan matriks simetris $A$ berukuran $3 \times 3$ yang bersesuaian.

Penyelesaian Analitis:

Langkah 1: Entri Diagonal — Koefisien suku kuadrat murni ditempatkan langsung: $a_{11} = 3$, $a_{22} = 4$, $a_{33} = 5$.

Langkah 2: Entri Off-Diagonal — Setiap koefisien perkalian silang dibagi dua:

\[ a_{12} = a_{21} = \frac{-4}{2} = -2, \qquad a_{13} = a_{31} = \frac{6}{2} = 3, \qquad a_{23} = a_{32} = \frac{-8}{2} = -4 \]

Langkah 3: Susun Matriks

\[ A = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & -4 \\ 3 & -4 & 5 \end{bmatrix} \]

Verifikasi Cepat: Kita uji apakah suku off-diagonal terrekonstruksi dengan benar. Kontribusi entri simetris $(1,2)$ dan $(2,1)$ terhadap $\mathbf{x}^TA\mathbf{x}$ adalah $a_{12}x_1x_2 + a_{21}x_2x_1 = -2x_1x_2 - 2x_2x_1 = -4x_1x_2$ ($\checkmark$). Kontribusi $(1,3)$ dan $(3,1)$: $3x_1x_3 + 3x_3x_1 = 6x_1x_3$ ($\checkmark$). Kontribusi $(2,3)$ dan $(3,2)$: $-4x_2x_3 - 4x_3x_2 = -8x_2x_3$ ($\checkmark$).

Kesimpulan: Matriks simetris $A = \begin{bmatrix} 3 & -2 & 3 \\ -2 & 4 & -4 \\ 3 & -4 & 5 \end{bmatrix}$ terverifikasi sah. Pola konstruksi ini berlaku umum untuk sebarang dimensi $n$. ∎

15.2 Diagonalisasi Bentuk Kuadrat via Sumbu Utama

Kehadiran suku perkalian silang seperti $-6x_1 x_2$ pada Contoh 15.1 membuat analisis geometri permukaan menjadi sangat rumit. Dalam kalkulus dan rekayasa teknik, kita selalu menginginkan ekspresi kuadrat murni tanpa adanya interaksi variabel silang. Proses mengeliminasi suku perkalian silang ini diselesaikan secara elegan melalui perubahan variabel berbasis matriks ortogonal.

Misalkan kita mendefinisikan variabel koordinat baru \(\mathbf{y} = \begin{bmatrix} y_1 & y_2 & \cdots & y_n \end{bmatrix}^T\) yang diikat oleh hubungan transformasi linear: $\mathbf{x} = P\mathbf{y}$. Di mana $P$ bertindak sebagai matriks transisi ortogonal persegi. Jika kita mensubstitusikan persamaan konversi ini ke dalam formulasi bentuk kuadrat awal, diperoleh manipulasi aljabar berantai:

\[ Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = (P\mathbf{y})^T A (P\mathbf{y}) = \mathbf{y}^T (P^T A P) \mathbf{y} \]

Berdasarkan materi Bab 12, jika matriks transisi $P$ dipilih sebagai matriks ortogonal yang kolom-kolomnya berisi vektor eigen dari matriks $A$, maka produk perkalian tengah $P^T A P = P^{-1} A P$ dijamin berubah menjadi matriks diagonal $D$. Persamaan bentuk kuadrat bertransformasi menjadi:

\[ Q(\mathbf{y}) = \mathbf{y}^T D \mathbf{y} = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2 \]
Teorema 15.1 — Teorema Sumbu Utama (The Principal Axes Theorem)

Misalkan $A$ adalah sebuah matriks simetris berukuran $n \times n$. Maka selalu dijamin terdapat sebuah transformasi perubahan variabel $\mathbf{x} = P\mathbf{y}$ dengan matriks ortogonal $P$ sedemikian rupa sehingga mengubah ekspresi bentuk kuadrat menjadi bentuk kuadrat murni diagonal tanpa memuat suku perkalian silang:

\[ \mathbf{x}^T A \mathbf{x} = \mathbf{y}^T D \mathbf{y} = \lambda_1 y_1^2 + \lambda_2 y_2^2 + \cdots + \lambda_n y_n^2 \]

Di mana \(\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\) bertindak sebagai nilai-nilai eigen dari matriks simetris $A$, dan kolom-kolom dari matriks $P$ disebut sebagai sumbu utama (principal axes) untuk bentuk kuadrat terkait.

Contoh 15.3 — Eliminasi Suku Perkalian Silang Melalui Perubahan Variabel Ortogonal

Tinjau sebuah fungsi bentuk kuadrat berikut: $Q(\mathbf{x}) = 2x_1^2 + 4x_1 x_2 + 5x_2^2$. Carilah matriks transisi ortogonal $P$ dan formulasikan bentuk kuadrat baru hasil eliminasi dalam variabel \(\mathbf{y}\).

Penyelesaian Analitis:

Langkah 1: Menyusun Matriks Simetris $A$

Bagi koefisien suku silang \(4x_1 x_2\) dengan dua untuk mengisi entri off-diagonal:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix} \]

Langkah 2: Menghitung Polinomial Karakteristik dan Nilai Eigen

\[ \det(A - \lambda I_2) = 0 \implies (2 - \lambda)(5 - \lambda) - (2)(2) = 0 \implies \lambda^2 - 7\lambda + 10 - 4 = 0 \implies \lambda^2 - 7\lambda + 6 = 0 \]

Faktorkan polinomial karakteristik di atas: \((\lambda - 6)(\lambda - 1) = 0\). Kita dapatkan sepasang nilai eigen terpisah: $\lambda_1 = 6$ dan $\lambda_2 = 1$.

Langkah 3: Mengonstruksi Matriks Diagonal $D$ Secara Instan

Berdasarkan hukum Teorema Sumbu Utama, entri diagonal matriks $D$ diisi langsung oleh nilai-nilai eigen:

\[ D = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \implies Q(\mathbf{y}) = 6y_1^2 + y_2^2 \]

Perhatikan hasil akhirnya: suku perkalian silang \(x_1 x_2\) telah lenyap sepenuhnya dari ekspresi matematika ($\checkmark$). Untuk mencari matriks pembangun $P$, kita cukup melakukan normalisasi terhadap vektor eigen masing-masing yang prosedurnya dirinci pada Bagian 15.5. ∎

15.3 Klasifikasi Definit: Positif Definit, dll

Dalam analisis optimasi multi-variabel (seperti penentuan titik ekstrem lokal pada kalkulus lanjut) dan kestabilan sistem kendali dinamik, kita perlu mengetahui apakah suatu bentuk kuadrat selalu menghasilkan nilai positif, selalu negatif, atau dapat berubah tanda tergantung pada input variabelnya. Karakteristik tanda ini diklasifikasikan ke dalam sifat definit matriks.

Definisi 15.2 — Klasifikasi Sifat Definit Bentuk Kuadrat

Sebuah bentuk kuadrat $Q(\mathbf{x}) = \mathbf{x}^T A \mathbf{x}$ dengan matriks simetris $A$ diklasifikasikan ke dalam lima kategori tanda berikut untuk setiap elemen vektor non-nol $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$:

  1. Positif Definit (Positive Definite): Jika nilai $Q(\mathbf{x}) > 0$ secara mutlak untuk seluruh $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$.
  2. Negatif Definit (Negative Definite): Jika nilai $Q(\mathbf{x}) < 0$ secara mutlak untuk seluruh $\mathbf{x} \neq \mathbf{0}$.
  3. Positif Semidefinit (Positive Semidefinite): Jika nilai $Q(\mathbf{x}) \geq 0$ untuk seluruh $\mathbf{x}$, dan terdapat vektor non-nol yang menghasilkan nilai tepat nol.
  4. Negatif Semidefinit (Negative Semidefinite): Jika nilai $Q(\mathbf{x}) \leq 0$ untuk seluruh $\mathbf{x}$, dan terdapat vektor non-nol yang menghasilkan nilai tepat nol.
  5. Indefinit (Indefinite): Jika nilai $Q(\mathbf{x})$ menghasilkan nilai positif untuk beberapa vektor input, dan menghasilkan nilai negatif untuk beberapa vektor input lainnya.

15.3.1 Kriteria Nilai Eigen (Eigenvalue Kriteria)

Berkat adanya Teorema Sumbu Utama (Teorema 15.1), kita dapat menentukan klasifikasi sifat definit sebuah matriks simetris secara instan dengan memeriksa spektrum tanda dari nilai-nilai eigen penyusunnya.

Teorema 15.2 — Karakteristik Definit Berbasis Spektrum Nilai Eigen

Misalkan $A$ adalah sebuah matriks simetris berukuran $n \times n$ yang memuat himpunan nilai eigen \(\{\lambda_1, \lambda_2, \ldots, \lambda_n\}\). Maka matriks $A$ dinyatakan bersifat:

  • Positif Definit: Jika dan hanya jika seluruh nilai eigen bernilai positif (\(\lambda_i > 0\)).
  • Negatif Definit: Jika dan hanya jika seluruh nilai eigen bernilai negatif (\(\lambda_i < 0\)).
  • Positif Semidefinit: Jika seluruh nilai eigen bernilai non-negatif (\(\lambda_i \geq 0\)) dan minimal terdapat satu nilai eigen bernilai nol.
  • Negatif Semidefinit: Jika seluruh nilai eigen bernilai non-positif (\(\lambda_i \leq 0\)) dan minimal terdapat satu nilai eigen bernilai nol.
  • Indefinit: Jika spektrum memuat minimal satu nilai eigen positif bersama dengan minimal satu nilai eigen negatif.
Contoh 15.4 — Klasifikasi Definit via Spektrum Nilai Eigen

Klasifikasikan sifat definit dari matriks simetris $A = \begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ menggunakan kriteria nilai eigen (Teorema 15.2), lalu verifikasi secara langsung melalui evaluasi bentuk kuadrat.

Penyelesaian Analitis:

Langkah 1: Hitung Nilai Eigen

\[ \det(A - \lambda I) = (1-\lambda)(2-\lambda) - 9 = \lambda^2 - 3\lambda - 7 = 0 \]
\[ \lambda = \frac{3 \pm \sqrt{9 + 28}}{2} = \frac{3 \pm \sqrt{37}}{2} \]

Karena $\sqrt{37} \approx 6{,}08$, diperoleh:

\[ \lambda_1 = \frac{3 + \sqrt{37}}{2} > 0, \qquad \lambda_2 = \frac{3 - \sqrt{37}}{2} \approx \frac{3 - 6{,}08}{2} < 0 \]

Langkah 2: Klasifikasi

Karena spektrum memuat satu nilai eigen positif dan satu nilai eigen negatif, matriks $A$ diklasifikasikan sebagai indefinit.

Langkah 3: Verifikasi Langsung via Bentuk Kuadrat

Bentuk kuadrat terkait adalah $Q(\mathbf{x}) = x_1^2 + 6x_1x_2 + 2x_2^2$. Pilih dua vektor uji:

\[ Q\!\left(\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \end{bmatrix}\right) = 1 > 0, \qquad Q\!\left(\begin{bmatrix} 1 \\ -1 \end{bmatrix}\right) = 1 - 6 + 2 = -3 < 0 \]

Konfirmasi: bentuk kuadrat menghasilkan nilai positif dan negatif pada vektor berbeda, sehingga sifat indefinit terverifikasi secara langsung ($\checkmark$). ∎

15.3.2 Kriteria Minor Utama (Teorema Sylvester)

Menghitung seluruh nilai eigen untuk matriks berdimensi masif sangatlah mahal secara komputasi. Sebagai jalur alternatif prapemrosesan cepat, aljabar menyediakan Teorema Sylvester yang menguji sifat definit cukup menggunakan nilai determinan dari submatriks pojok kiri atas, yang disebut sebagai minor utama utama (leading principal minors).

Teorema 15.3 — Teorema Sylvester untuk Matriks Positif Definit

Misalkan $A$ adalah sebuah matriks simetris berukuran $n \times n$. Definisikan submatriks minor utama ke-$k$, dinotasikan sebagai $A_k$, sebagai submatriks berukuran $k \times k$ yang dibentuk dari entri-entri $k$ baris pertama dan $k$ kolom pertama dari matriks $A$. Maka:

  1. Matriks $A$ diklasifikasikan bersifat positif definit jika dan hanya jika seluruh nilai determinan dari submatriks minor utama tersebut bernilai positif:
    \[ \det(A_1) > 0, \quad \det(A_2) > 0, \quad \ldots, \quad \det(A_n) > 0 \]
  2. Matriks $A$ diklasifikasikan bersifat negatif definit jika dan hanya jika nilai determinan minor utamanya **saling berganti tanda (berosilasi)**, dimulai dari tanda negatif untuk ordo ganjil:
    \[ \det(A_1) < 0, \quad \det(A_2) > 0, \quad \det(A_3) < 0, \quad \ldots \]

Catatan penting: Jika pola tanda minor utama tidak cocok dengan kedua kriteria di atas, maka matriks bersifat indefinit atau semidefinit. Untuk kasus ini, gunakan kriteria nilai eigen (Teorema 15.2) sebagai penentu akhir.

Contoh 15.5 — Pengujian Sifat Definit via Teorema Sylvester

Ujilah sifat definit dari matriks simetris berukuran $3 \times 3$ berikut memanfaatkan kriteria minor utama Sylvester:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & -1 & 0 \\ -1 & 2 & -1 \\ 0 & -1 & 2 \end{bmatrix} \]

Kemudian verifikasi hasilnya menggunakan kriteria nilai eigen.

Penyelesaian Analitis:

Metode 1: Kriteria Minor Utama Sylvester

  • Minor Utama Pertama (\(A_1\)):
    \[ A_1 = [2] \implies \det(A_1) = 2 > 0 \]
  • Minor Utama Kedua (\(A_2\)):
    \[ A_2 = \begin{bmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{bmatrix} \implies \det(A_2) = 4 - 1 = 3 > 0 \]
  • Minor Utama Ketiga (\(A_3\)): Ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama:
    \[ \det(A_3) = 2\begin{vmatrix} 2 & -1 \\ -1 & 2 \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ 0 & 2 \end{vmatrix} + 0 = 2(3) + 1(-2) = 6 - 2 = 4 > 0 \]

Seluruh determinan minor utama bernilai positif $\implies$ positif definit menurut Sylvester.

Metode 2: Verifikasi via Nilai Eigen

Polinomial karakteristik dari matriks tridiagonal ini dapat difaktorkan sebagai:

\[ \det(A - \lambda I) = (2-\lambda)\begin{vmatrix} 2-\lambda & -1 \\ -1 & 2-\lambda \end{vmatrix} - (-1)\begin{vmatrix} -1 & -1 \\ -1 & 2-\lambda \end{vmatrix} \]
\[ = (2-\lambda)[(2-\lambda)^2 - 1] + [-(2-\lambda) - 1] = (2-\lambda)^3 - (2-\lambda) - (2-\lambda) - 1 \]
\[ = (2-\lambda)^3 - 2(2-\lambda) - 1 \]

Substitusikan $t = 2 - \lambda$: $\;t^3 - 2t - 1 = (t+1)(t^2 - t - 1) = 0$. Akar-akarnya: $t = -1$, $t = \frac{1 \pm \sqrt{5}}{2}$.

Kembali ke $\lambda = 2 - t$: diperoleh $\lambda_1 = 3$, $\lambda_2 = \frac{3-\sqrt{5}}{2} \approx 0{,}38$, $\lambda_3 = \frac{3+\sqrt{5}}{2} \approx 2{,}62$. Seluruhnya positif ($\checkmark$).

Kesimpulan: Kedua metode menghasilkan kesimpulan identik — matriks $A$ bersifat positif definit. ∎

Contoh 15.6 — Deteksi Sifat Negatif Definit

Ujilah sifat definit dari $B = \begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ menggunakan kedua metode yang tersedia.

Penyelesaian Analitis:

Metode 1: Sylvester

\[ \det(B_1) = -3 < 0, \qquad \det(B_2) = (-3)(-2) - (1)(1) = 6 - 1 = 5 > 0 \]

Pola tanda: $-, +$ (berosilasi, dimulai negatif pada ordo ganjil) $\implies$ negatif definit ($\checkmark$).

Metode 2: Nilai Eigen

\[ \det(B - \lambda I) = (-3-\lambda)(-2-\lambda) - 1 = \lambda^2 + 5\lambda + 5 = 0 \]
\[ \lambda = \frac{-5 \pm \sqrt{25 - 20}}{2} = \frac{-5 \pm \sqrt{5}}{2} \]

Karena $\sqrt{5} \approx 2{,}24 < 5$, kedua akar bernilai negatif:

\[ \lambda_1 = \frac{-5 + \sqrt{5}}{2} \approx -1{,}38 < 0, \qquad \lambda_2 = \frac{-5 - \sqrt{5}}{2} \approx -3{,}62 < 0 \]

Seluruh nilai eigen negatif $\implies$ negatif definit ($\checkmark$). ∎

15.4 Teorema Spektral Matriks Simetris

Sepanjang bab ini, kita mengandalkan kemampuan matriks simetris riil untuk selalu dapat didiagonalkan menggunakan matriks transisi ortogonal $P$. Penjaminan mutlak ini bukanlah sebuah kebetulan matematis, melainkan sebuah kepastian hukum yang diikat oleh Teorema Spektral.

Istilah spektrum merujuk pada himpunan seluruh nilai eigen yang dimiliki oleh sebuah matriks persegi. Teorema Spektral mengunci properti-properti struktural luar biasa dari ruang eigen yang dibangun oleh rumpun matriks simetris riil.

Teorema 15.4 — Teorema Spektral Matriks Simetris Riil

Jika $A$ adalah sebuah matriks simetris riil berukuran $n \times n$, maka secara absolut dijamin memenuhi empat properti karakteristik utama berikut:

  1. Matriks $A$ dipastikan memuat tepat total $n$ buah nilai eigen riil, dihitung beserta tingkat multiplisitas aljabarnya. Nilai eigen imajiner atau kompleks tidak akan pernah muncul.
  2. Dua buah vektor eigen yang berasal dari dua ruang eigen yang **berbeda** dijamin bersifat **ortogonal (saling tegak lurus)** satu sama lain.
  3. Nilai multiplisitas geometris selalu bernilai tepat sama dengan nilai multiplisitas aljabarnya untuk setiap nilai eigen ($m_g(\lambda) = m_a(\lambda)$). Skenario ini menutup peluang kemunculan matriks cacat.
  4. Matriks $A$ dijamin selalu **dapat didiagonalkan secara ortogonal (orthogonally diagonalizable) untuk membentuk dekomposisi keserupaan $A = PDP^T$.
Bukti Aljabar Ortogonalitas Antar-Ruang Eigen yang Berbeda

Misalkan \(\mathbf{x}_1\) dan \(\mathbf{x}_2\) bertindak sebagai sepasang vektor eigen yang bersesuaian dengan dua nilai eigen terpisah \(\lambda_1 \neq \lambda_2\), memenuhi hubungan \(A\mathbf{x}_1 = \lambda_1\mathbf{x}_1\) dan \(A\mathbf{x}_2 = \lambda_2\mathbf{x}_2\). Mari kita evaluasi ekspresi skalar berantai \(\lambda_1 \langle\mathbf{x}_1, \mathbf{x}_2\rangle\) memanfaatkan properti transpose matriks:

\[ \lambda_1 (\mathbf{x}_1 \cdot \mathbf{x}_2) = (\lambda_1 \mathbf{x}_1)^T \mathbf{x}_2 = (A\mathbf{x}_1)^T \mathbf{x}_2 = \mathbf{x}_1^T A^T \mathbf{x}_2 \]

Substitusikan sifat simetri matriks di mana \(A^T = A\):

\[ \mathbf{x}_1^T A^T \mathbf{x}_2 = \mathbf{x}_1^T (A \mathbf{x}_2) = \mathbf{x}_1^T (\lambda_2 \mathbf{x}_2) = \lambda_2 (\mathbf{x}_1^T \mathbf{x}_2) = \lambda_2 (\mathbf{x}_1 \cdot \mathbf{x}_2) \]

Pindahkan kedua komponen hasil akhir ke dalam satu ruas:

\[ \lambda_1 (\mathbf{x}_1 \cdot \mathbf{x}_2) - \lambda_2 (\mathbf{x}_1 \cdot \mathbf{x}_2) = 0 \implies (\lambda_1 - \lambda_2)(\mathbf{x}_1 \cdot \mathbf{x}_2) = 0 \]

Karena dikondisikan bahwa kedua nilai eigen bernilai berbeda (\(\lambda_1 - \lambda_2 \neq 0\)), maka satu-satunya cara untuk memenuhi persamaan aljabar di atas adalah jika hasil kali titiknya bernilai nol:

\[ \mathbf{x}_1 \cdot \mathbf{x}_2 = 0 \implies \mathbf{x}_1 \perp \mathbf{x}_2 \]

Pembuktian selesai secara sempurna. \(\blacksquare\)

15.5 Prosedur Runtut Diagonalisasi Ortogonal

Untuk membangun struktur dekomposisi $A = PDP^T$ secara paripurna, kita tidak boleh menyusun matriks $P$ menggunakan sebarang vektor eigen. Sifat identitas ortogonal ($P^{-1} = P^T$) mewajibkan kolom-kolom dari matriks transisi $P$ diisi oleh barisan vektor eigen yang telah dibersihkan dan dinormalisasi menjadi ortonormal.

Algoritma Konstruksi Diagonalisasi Ortogonal Matriks Simetris

Diberikan sebuah matriks simetris riil $A$ sebarang, rangkaian prosedur dekomposisi diselesaikan melalui tahapan berikut:

  1. Hitung seluruh nilai eigen yang dimiliki matriks memanfaatkan rumus akar karakteristik $\det(A - \lambda I_n) = 0$.
  2. Cari komponen basis pembangunan untuk masing-masing ruang subruang eigen $E_\lambda$ via sistem homogen.
  3. Tahap Purifikasi Kolom: Jika sebuah ruang eigen memuat akar kembar (dimensi ruang $> 1$), jalankan algoritma Gram-Schmidt (Bab 12) untuk memaksa vektor eigen internalnya menjadi saling tegak lurus. Jika dimensi ruang sudah satu, langkah ini dilewati karena Teorema 15.4 menjamin ketegaklurusan antar-ruang eigen yang berbeda secara otomatis.
  4. Lakukan normalisasi dengan membagi masing-masing elemen vektor eigen dengan nilai panjangnya sendiri guna mengunci kriteria ortonormal.
  5. Susun vektor-vektor satuan tersebut sebagai kolom-kolom matriks transisi $P$, dan letakkan nilai eigen pasangannya ke entri diagonal utama matriks $D$ secara sejajar.
Contoh 15.7 — Diagonalisasi Ortogonal Matriks $2 \times 2$

Lakukan diagonalisasi ortogonal penuh untuk menemukan matriks transisi $P$ yang mengikat operator simetris $A = \begin{bmatrix} 2 & 2 \\ 2 & 5 \end{bmatrix}$ dari Contoh 15.3.

Penyelesaian Analitis:

Dari perhitungan sebelumnya, kita telah mengunci spektrum nilai eigen: \(\lambda_1 = 6\) dan \(\lambda_2 = 1\).

  • 1. Isolasi Ruang Eigen Pertama (\(\lambda_1 = 6\)):
    \[ (A - 6I_2)\mathbf{x} = \mathbf{0} \implies \begin{bmatrix} -4 & 2 \\ 2 & -1 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
    Reduksi baris menghasilkan hubungan: \(2x_1 - x_2 = 0 \implies x_2 = 2x_1\). Diperoleh vektor eigen basis: \(\mathbf{v}_1 = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix}\).
    Normalisasi:
    \[ \|\mathbf{v}_1\| = \sqrt{1^2 + 2^2} = \sqrt{5} \implies \mathbf{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} \\[4pt] \frac{2}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} \]
  • 2. Isolasi Ruang Eigen Kedua (\(\lambda_2 = 1\)):
    \[ (A - 1I_2)\mathbf{x} = \mathbf{0} \implies \begin{bmatrix} 1 & 2 \\ 2 & 4 \end{bmatrix} \begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]
    Reduksi baris menghasilkan: \(x_1 + 2x_2 = 0 \implies x_1 = -2x_2\). Diperoleh vektor eigen basis: \(\mathbf{v}_2 = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix}\).
    Normalisasi:
    \[ \|\mathbf{v}_2\| = \sqrt{(-2)^2 + 1^2} = \sqrt{5} \implies \mathbf{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -\frac{2}{\sqrt{5}} \\[4pt] \frac{1}{\sqrt{5}} \end{bmatrix} \]

Langkah Akhir: Penggabungan Komponen

\[ P = \begin{bmatrix} \mathbf{q}_1 & \mathbf{q}_2 \end{bmatrix} = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix} 1 & -2 \\ 2 & 1 \end{bmatrix}, \qquad D = \begin{bmatrix} 6 & 0 \\ 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Verifikasi Ortogonalitas: \(\langle\mathbf{q}_1, \mathbf{q}_2\rangle = \frac{1}{5}(-2 + 2) = 0\) ($\checkmark$). Dekomposisi $A = PDP^T$ terverifikasi. ∎

Contoh 15.8 — Diagonalisasi Ortogonal Matriks $3 \times 3$

Lakukan diagonalisasi ortogonal penuh untuk matriks simetris:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \]

Penyelesaian Analitis:

Langkah 1: Hitung Nilai Eigen

Karena $A$ berbentuk blok diagonal, polinomial karakteristik dapat difaktorkan langsung:

\[ \det(A - \lambda I) = (-1-\lambda)\det\begin{bmatrix} 2-\lambda & 2 \\ 2 & 5-\lambda \end{bmatrix} = (-1-\lambda)\bigl[(2-\lambda)(5-\lambda) - 4\bigr] \]
\[ = (-1-\lambda)(\lambda^2 - 7\lambda + 6) = -(\lambda+1)(\lambda-6)(\lambda-1) = 0 \]

Diperoleh tiga nilai eigen berbeda: $\lambda_1 = 6$, $\lambda_2 = 1$, $\lambda_3 = -1$. Karena semuanya berbeda, Teorema 15.4 menjamin ketiga vektor eigen akan otomatis saling ortogonal tanpa perlu Gram-Schmidt.

Langkah 2: Cari dan Normalisasi Vektor Eigen

Untuk $\lambda_1 = 6$: Blok atas-left identik dengan Contoh 15.7, sehingga:

\[ \mathbf{q}_1 = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Untuk $\lambda_2 = 1$: Demikian pula, dari Contoh 15.7 dengan komponen $x_3 = 0$:

\[ \mathbf{q}_2 = \frac{1}{\sqrt{5}}\begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Untuk $\lambda_3 = -1$: Selesaikan $(A + I)\mathbf{x} = \mathbf{0}$:

\[ \begin{bmatrix} 3 & 2 & 0 \\ 2 & 6 & 0 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}\begin{bmatrix} x_1 \\ x_2 \\ x_3 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} \]

Dari baris ketiga: $x_3$ bebas. Dari dua baris pertama (setelah reduksi): $x_1 = x_2 = 0$. Sehingga:

\[ \mathbf{v}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \|\mathbf{v}_3\| = 1 \implies \mathbf{q}_3 = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix} \]

Langkah 3: Susun Dekomposisi

\[ P = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} & 0 \\[4pt] \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}, \qquad D = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \]

Verifikasi dan Interpretasi

Ortogonalitas antar-kolom: $\mathbf{q}_3$ jelas tegak lurus terhadap $\mathbf{q}_1$ dan $\mathbf{q}_2$ karena komponen ketiganya nol sementara $\mathbf{q}_3$ hanya memiliki komponen ketiga ($\checkmark$).

Bentuk kuadrat terkait $Q(\mathbf{x}) = 2x_1^2 + 4x_1x_2 + 5x_2^2 - x_3^2$ bertransformasi menjadi:

\[ Q(\mathbf{y}) = 6y_1^2 + y_2^2 - y_3^2 \]

Karena nilai eigen memuat tanda campuran (positif dan negatif), matriks $A$ bersifat indefinit. Ini menghubungkan diagonalisasi ortogonal dengan klasifikasi definit pada Bagian 15.3 secara langsung. ∎

15.6 Identifikasi dan Klasifikasi Permukaan Kuadrik

Aplikasi visual paling nyata dari dekomposisi bentuk kuadrat dalam ruang dimensi tiga \(\mathbb{R}^3\) adalah proses identifikasi permukaan kuadrik (quadric surfaces). Permukaan kuadrik adalah himpunan seluruh titik koordinat \((x, y, z)\) yang memenuhi persamaan umum polinomial berderajat dua:

\[ ax^2 + by^2 + cz^2 + 2dxy + 2exz + 2fyz + gx + hy + iz + j = 0 \]

Kehadiran suku perkalian silang ($xy, xz, yz$) secara geometris menunjukkan bahwa posisi permukaan kuadrik tersebut mengalami **rotasi miring** terhadap sumbu koordinat standar. Melalui penerapan Teorema Sumbu Utama (Teorema 15.1), kita dapat menghilangkan seluruh interaksi perkalian silang tersebut dan mengubah persamaan menjadi bentuk standar kanonik:

\[ \lambda_1 u^2 + \lambda_2 v^2 + \lambda_3 w^2 + g'u + h'v + i'w + j = 0 \]

Berdasarkan kombinasi tanda dari nilai-nilai eigen (\(\lambda_1, \lambda_2, \lambda_3\)), kita dapat langsung mengklasifikasikan karakteristik geometri objek secara presisi:

  • Jika seluruh nilai eigen memiliki tanda positif (\(+, +, +\)), permukaan objek diklasifikasikan berbentuk Elipsoid (Ellipsoid) atau bola yang terdistorsi.
  • Jika spektrum memuat dua nilai eigen positif dan satu nilai eigen negatif (\(+, +, -\)), objek bertransformasi membentuk geometri Hiperboloid Lembar Satu (Hyperboloid of One Sheet).
  • Jika spektrum memuat satu nilai eigen positif dan dua nilai eigen negatif (\(+, -, -\)), objek bertransformasi membentuk geometri Hiperboloid Lembar Dua (Hyperboloid of Two Sheets).
  • Jika salah satu nilai eigen bernilai nol (\(\lambda_k = 0\)), objek diklasifikasikan ke dalam rumpun Paraboloid atau Silinder Kuadrik tergantung pada nilai konstanta linear sisa.
Contoh 15.9 — Identifikasi Permukaan Kuadrik

Identifikasikan jenis permukaan kuadrik yang didefinisikan oleh persamaan berikut, lalu tuliskan bentuk kanoniknya:

\[ 2x^2 + 4xy + 5y^2 - z^2 = 1 \]

Penyelesaian Analitis:

Langkah 1: Ekstrak Matriks Simetris dari Suku Kuadrat

Bagian kuadrat dari persamaan adalah $2x^2 + 4xy + 5y^2 - z^2$. Matriks simetris yang bersesuaian adalah:

\[ A = \begin{bmatrix} 2 & 2 & 0 \\ 2 & 5 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix} \]

Inilah matriks yang sama persis dengan yang telah kita diagonalisasi pada Contoh 15.8!

Langkah 2: Gunakan Hasil Diagonalisasi Sebelumnya

Dari Contoh 15.8, kita telah memperoleh:

\[ D = \begin{bmatrix} 6 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & -1 \end{bmatrix}, \qquad P = \begin{bmatrix} \frac{1}{\sqrt{5}} & -\frac{2}{\sqrt{5}} & 0 \\[4pt] \frac{2}{\sqrt{5}} & \frac{1}{\sqrt{5}} & 0 \\[4pt] 0 & 0 & 1 \end{bmatrix} \]

Melalui perubahan variabel $\begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix} = P\begin{bmatrix} u \\ v \\ w \end{bmatrix}$, suku-suku kuadrat bertransformasi menjadi:

\[ 6u^2 + v^2 - w^2 = 1 \]

Langkah 3: Klasifikasi Geometri

Perhatikan tanda nilai eigen pada bentuk kanonik:

\[ \underbrace{(+)}_{\lambda_1 = 6}\,u^2 \;+\; \underbrace{(+)}_{\lambda_2 = 1}\,v^2 \;-\; \underbrace{(-)}_{\lambda_3 = -1}\,w^2 \;=\; 1 \]

Pola tanda: **dua positif, satu negatif** ($+, +, -$) dengan konstanta ruas kanan positif.

Kesimpulan: Permukaan ini diklasifikasikan sebagai Hiperboloid Lembar Satu (Hyperboloid of One Sheet). Bentuk kanoniknya adalah $6u^2 + v^2 - w^2 = 1$, yang dalam bentuk baku dapat dinormalisasi menjadi $\frac{u^2}{1/6} + \frac{v^2}{1} - \frac{w^2}{1} = 1$.

Catatan Geometri: Jika konstanta ruas kanan diubah menjadi $-1$ (yaitu $6u^2 + v^2 - w^2 = -1$), maka setelah dikalikan $-1$ kita memperoleh $-6u^2 - v^2 + w^2 = 1$ dengan pola tanda ($-, -, +$), yang menghasilkan Hiperboloid Lembar Dua. Ini menunjukkan betapa krusialnya peran tanda konstanta ruas kanan dalam klasifikasi akhir. ∎

Contoh 15.10 — Identifikasi Elipsoid dari Matriks Positif Definit

Identifikasikan permukaan kuadrik: $3x^2 - 4xy + 4y^2 - 4xz + 8yz + 5z^2 = 9$.

Penyelesaian Analitis:

Langkah 1: Ekstrak Matriks Simetris

\[ A = \begin{bmatrix} 3 & -2 & -2 \\ -2 & 4 & 4 \\ -2 & 4 & 5 \end{bmatrix} \]

Perhatikan: ini adalah matriks dari Contoh 15.2 dengan penyesuaian tanda pada entri $(1,3)$ dan $(3,1)$.

Langkah 2: Hitung Nilai Eigen

\[ \det(A - \lambda I) = \begin{vmatrix} 3-\lambda & -2 & -2 \\ -2 & 4-\lambda & 4 \\ -2 & 4 & 5-\lambda \end{vmatrix} = 0 \]

Ekspansi kofaktor sepanjang baris pertama:

\[ = (3-\lambda)\begin{vmatrix} 4-\lambda & 4 \\ 4 & 5-\lambda \end{vmatrix} + 2\begin{vmatrix} -2 & 4 \\ -2 & 5-\lambda \end{vmatrix} - 2\begin{vmatrix} -2 & 4-\lambda \\ -2 & 4 \end{vmatrix} \]
\[ = (3-\lambda)\bigl[(4-\lambda)(5-\lambda)-16\bigr] + 2\bigl[-2(5-\lambda)+8\bigr] - 2\bigl[-8+2(4-\lambda)\bigr] \]
\[ = (3-\lambda)(\lambda^2-9\lambda+4) + 2(-2+2\lambda) - 2(-2\lambda) \]
\[ = 3\lambda^2 - 27\lambda + 12 - \lambda^3 + 9\lambda^2 - 4\lambda - 4 + 4\lambda + 4\lambda \]
\[ = -\lambda^3 + 12\lambda^2 - 27\lambda + 8 = 0 \implies \lambda^3 - 12\lambda^2 + 27\lambda - 8 = 0 \]

Uji faktor bilangan bulat: $\lambda = 1$ bukan akar. $\lambda = 8$: $512 - 768 + 216 - 8 = -48 \neq 0$. Coba $\lambda = 4$: $64 - 192 + 108 - 8 = -28$. Hmm.

Mari gunakan pendekatan berbeda — uji Sylvester terlebih dahulu untuk menentukan apakah $A$ positif definit:

\[ \det(A_1) = 3 > 0, \qquad \det(A_2) = 12 - 4 = 8 > 0 \]
\[ \det(A_3) = 3(20-16) + 2(-10+8) - 2(-8+8) = 12 - 4 + 0 = 8 > 0 \]

Seluruh minor utama positif $\implies$ $A$ positif definit menurut Teorema 15.3!

Langkah 3: Klasifikasi Langsung Tanpa Menghitung Eigen Eksplisit

Karena $A$ positif definit, maka menurut Teorema 15.2, seluruh nilai eigen $A$ pasti positif. Tanpa perlu menghitung akar-akarnya secara eksplisit, pola tanda spektrum sudah dijamin: $(+, +, +)$.

Dengan konstanta ruas kanan positif ($= 9$), bentuk kanonik berwujud:

\[ \lambda_1 u^2 + \lambda_2 v^2 + \lambda_3 w^2 = 9 \quad \text{dengan } \lambda_1, \lambda_2, \lambda_3 > 0 \]

Kesimpulan: Permukaan ini diklasifikasikan sebagai Elipsoid. Contoh ini mendemonstrasikan kekuatan luar biasa Teorema Sylvester: kita berhasil mengklasifikasikan permukaan kuadrik hanya melalui tiga operasi determinan sederhana, tanpa perlu menghitung nilai eigen sama sekali. ∎

Perspektif Aljabar Bab Ini

Bab 15 membawa kita melintasi batas linearitas konvensional. Kita membuktikan bahwa instrumen-instrumen aljabar linear yang dibangun sepanjang semester ini tetap berdaya guna tinggi untuk mengolah, menyederhanakan, dan menjinakkan ekspresi polinomial non-linear derajat dua.

Melalui dekonstruksi Teorema Sumbu Utama, kita menyadari bahwa kerumitan suku-suku perkalian silang hanyalah sebuah ilusi optik akibat salah memilih sistem koordinat. Dengan memutar sudut pandang ruang menggunakan matriks transisi ortogonal $P$ yang dibangun oleh barisan vektor eigen ortonormal, kita berhasil meluruhkan interaksi variabel silang menjadi bentuk kuadrat murni diagonal. Pengenalan Teorema Sylvester dan kriteria minor utama membuktikan fleksibilitas aljabar dalam mengunci klasifikasi definit tanpa perlu menghitung akar karakteristik. Contoh 15.10 menunjukkan bagaimana kedua alat ini saling melengkapi: Sylvester memberikan diagnosa cepat, sementara nilai eigen memberikan bentuk kanonik eksplisit.

Pemahaman komprehensif mengenai dekomposisi matriks simetris riil ($A = PDP^T$) ini bertindak sebagai jembatan mekanis terakhir yang mempersiapkan kita menuju puncak mahkota kurikulum aljabar linear terapan modern: Bab 16 (Dekomposisi Nilai Singular / SVD), yang memperluas kerangka diagonalisasi ini ke matriks sembarang (bukan hanya simetris).

Latihan Evaluasi Akhir Bab 15
  1. Diberikan sebuah fungsi polinomial bentuk kuadrat tiga variabel di dalam ruang \(\mathbb{R}^3\): $Q(\mathbf{x}) = 3x_1^2 + 4x_2^2 + 5x_3^2 - 4x_1 x_2 + 6x_1 x_3 - 8x_2 x_3$. Tentukan susunan entri matriks simetris $A$ yang bersesuaian. (Petunjuk: Bandingkan dengan Contoh 15.2.)
  2. Sebuah fungsi bentuk kuadrat pada ruang dua dimensi didefinisikan oleh rumus: $Q(\mathbf{x}) = x_1^2 - 8x_1 x_2 - 5x_2^2$.
    • (a) Temukan matriks simetris $A$ yang bersesuaian.
    • (b) Hitunglah seluruh nilai eigen yang dimiliki oleh matriks koefisien terkait melalui akar polinomial karakteristik.
    • (c) Manfaatkan hukum Teorema Sumbu Utama untuk memformulasikan bentuk kuadrat baru hasil eliminasi dalam variabel koordinat \(\mathbf{y}\).
    • (d) Klasifikasikan sifat definit dari $A$ berdasarkan tanda nilai eigen. (Petunjuk: Bandingkan dengan Contoh 15.4.)
  3. Ujilah sifat klasifikasi definit dari matriks-matriks simetris di bawah ini menggunakan kedua metode (kriteria nilai eigen Teorema 15.2 dan kriteria minor utama Sylvester Teorema 15.3), lalu verifikasi konsistensi hasil:
    • (a) $\begin{bmatrix} 4 & 2 \\ 2 & 3 \end{bmatrix}$ (Petunjuk: Bandingkan dengan Contoh 15.5.)
    • (b) $\begin{bmatrix} -3 & 1 \\ 1 & -2 \end{bmatrix}$ (Petunjuk: Bandingkan dengan Contoh 15.6.)
    • (c) $\begin{bmatrix} 1 & 3 \\ 3 & 2 \end{bmatrix}$ (Petunjuk: Bandingkan dengan Contoh 15.4.)
  4. Misalkan sebuah matriks simetris riil berukuran $2 \times 2$ didefinisikan sebagai $A = \begin{bmatrix} 6 & 2 \\ 2 & 9 \end{bmatrix}$. Konstruksikan secara lengkap komponen matriks transisi ortogonal $P$ dan matriks diagonal $D$ untuk membangun struktur dekomposisi $A = PDP^T$ melalui prosedur normalisasi vektor eigen. (Petunjuk: Ikuti alur yang sama dengan Contoh 15.7.)
  5. Identifikasikan jenis permukaan kuadrik dari persamaan $2x^2 + 2xy + 2y^2 + 3z^2 = 1$. Gunakan kriteria Sylvester pada matriks simetris suku kuadrat untuk menentukan klasifikasi tanpa menghitung nilai eigen secara eksplisit. (Petunjuk: Bandingkan dengan pendekatan pada Contoh 15.10.)
  6. Soal Pemikiran Analitis Nilai Ekstrem Bersyarat: Jika sebuah matriks simetris riil $A$ memuat nilai eigen terbesar \(\lambda_{\max}\) dan nilai eigen terkecil \(\lambda_{\min}\), buktikan secara teoretis menggunakan hukum dekomposisi ortogonal bahwa untuk sebarang vektor satuan \(\|\mathbf{x}\| = 1\) (vektor pada permukaan bola satuan), nilai dari fungsi bentuk kuadrat dijamin selalu terkunci dan dibatasi oleh ketaksamaan konstan:
    \[ \lambda_{\min} \;\leq\; \mathbf{x}^T A \mathbf{x} \;\leq\; \lambda_{\max} \]
    Catatan Teoretis: Hubungan pembatasan ini dikenal secara formal sebagai Rasio Rayleigh (Rayleigh Quotient), sebuah teorema optimasi tertinggi yang melandasi mekanika getaran struktur dan algoritma perankingan data internet.
Bab sebelumnya
Proyeksi & Kuadrat Terkecil
Bab berikutnya
Dekomposisi Nilai Singular