Bab 6

Vektor di $\mathbb{R}^n$

Bab 5 membekali kita dengan determinan sebagai kriteria skalar untuk invertibilitas. Bab ini menurunkan fokus analisis dari matriks ke entitas penyusunnya: vektor. Sebelum melangkah ke aksioma abstrak ruang vektor pada Bab 7, kita harus menguasai karakteristik mekanis vektor di dalam ruang Euclidean $\mathbb{R}^n$ — notasi komponen, operasi penjumlahan dan perkalian skalar, hasil kali dalam (dot product) beserta sifat aljabarnya, serta tiga konsep metrik fundamental: norma (panjang), jarak, dan sudut antar-vektor yang semuanya bersandar pada ketaksamaan Cauchy-Schwarz.

Catatan Kurikulum — Jembatan Menuju Semester 2

Konsep metrik (Norma, Jarak, Sudut, dan Ortogonalitas) yang kita formulasikan di bab ini didasarkan secara eksklusif pada ruang Euclidean konkrit $\mathbb{R}^n$ memanfaatkan perkalian titik (dot product). Simpan pemahaman mekanis ini dengan baik. Pada Bab 11 (Ruang Hasil Dalam) di Semester 2, kita akan melompat ke tingkat abstraksi tertinggi, di mana rumus-rumus geometris di bab ini akan diadopsi secara mutlak untuk mengukur panjang kurva, jarak antar-fungsi kalkulus, dan ketegaklurusan gelombang kontinu.

6.1 Notasi Komponen Vektor Kolom

Secara geometris, sebuah vektor di dalam ruang Euclidean $\mathbb{R}^n$ merepresentasikan sebuah panah berarah yang bertolak dari titik pusat asal (origin, $\mathbf{0}$) menuju ke sebuah titik koordinat target. Secara aljabar, kita menyepakati untuk menuliskan entri vektor ke dalam bentuk vektor kolom (column vector).

Konvensi Penulisan Vektor dalam Buku Ini

Sepanjang buku ini, seluruh vektor dituliskan dalam format matriks kolom $n \times 1$ dan dicetak tebal: $\mathbf{v}$. Penulisan sebagai vektor baris ($1 \times n$) hanya digunakan secara sporadis untuk menghemat ruang tampilan halaman, dan selalu ditandai secara eksplisit dengan notasi transpose $\mathbf{v}^T$. Konvensi ini menjamin konsistensi dengan operasi perkalian matriks yang telah diformalkan pada Bab 3.

Definisi 6.1 — Ruang Euclidean $\mathbb{R}^n$

Ruang Euclidean $\mathbb{R}^n$ adalah himpunan seluruh urutan tupel teratur yang memuat sebanyak $n$ komponen bilangan real, dinyatakan secara formal dalam bentuk matriks kolom tunggal:

\[ \mathbf{v} = \begin{bmatrix} v_1 \\ v_2 \\ \vdots \\ v_n \end{bmatrix}, \qquad v_i \in \mathbb{R} \]

Dua buah vektor $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ di dalam $\mathbb{R}^n$ dinyatakan sama secara identik ($\mathbf{u} = \mathbf{v}$) jika dan hanya jika seluruh komponen entri yang bersesuaian memiliki nilai yang sama persis: $u_i = v_i$ untuk setiap indeks $i = 1, 2, \ldots, n$.

Contoh 6.1 — Kesamaan Vektor di $\mathbb{R}^5$

Diberikan dua vektor di dalam $\mathbb{R}^5$:

\[ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \\ 7 \\ 2 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \\ 7 \\ \alpha \end{bmatrix} \]

Tentukan nilai $\alpha$ agar $\mathbf{u} = \mathbf{v}$.

Penyelesaian:

Berdasarkan Definisi 6.1, kesamaan vektor mensyaratkan setiap komponen bersesuaian bernilai sama. Untuk empat entri pertama, sudah terpenuhi: $3 = 3$, $-1 = -1$, $0 = 0$, $7 = 7$. Pada entri kelima, kita harus memiliki:

\[ u_5 = v_5 \implies 2 = \alpha \]

Jadi, $\mathbf{u} = \mathbf{v}$ jika dan hanya jika $\alpha = 2$. Untuk sebarang nilai $\alpha \neq 2$, kedua vektor ini berbeda — meskipun empat dari lima komponennya identik.

6.2 Penjumlahan Vektor dan Perkalian Skalar

Operasi internal aljabar pada ruang Euclidean dihitung secara entri-per-entri pada posisi indeks koordinat yang sejajar:

Definisi 6.2 — Operasi Dasar Aljabar Vektor

Misalkan $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ adalah vektor-vektor di dalam $\mathbb{R}^n$, serta $k \in \mathbb{R}$ bertindak sebagai konstanta skalar pengali:

Penjumlahan Vektor ($\mathbf{u} + \mathbf{v}$): Dibentuk dengan menjumlahkan setiap entri komponen yang bersesuaian:
\[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} u_1 + v_1 \\ u_2 + v_2 \\ \vdots \\ u_n + v_n \end{bmatrix} \]
Perkalian Skalar ($k\mathbf{u}$): Dibentuk dengan mengalikan seluruh entri vektor menggunakan skalar pengali $k$:
\[ k\mathbf{u} = \begin{bmatrix} ku_1 \\ ku_2 \\ \vdots \\ ku_n \end{bmatrix} \]

Contoh 6.2 — Kalkulasi Kombinasi Linear Vektor di $\mathbb{R}^4$

Diberikan dua buah vektor di dalam ruang dimensi empat:

\[ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ -5 \\ 2 \end{bmatrix} \]

Hitunglah nilai dari ekspresi kombinasi linear: $3\mathbf{u} - 2\mathbf{v}$.

Penyelesaian:

\[ 3\mathbf{u} - 2\mathbf{v} = 3\begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} - 2\begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ -5 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 3 \\ -6 \\ 0 \\ 9 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -8 \\ -2 \\ 10 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -5 \\ -8 \\ 10 \\ 5 \end{bmatrix} \]

Contoh 6.3 — Pengurangan Vektor dan Vektor Nol di $\mathbb{R}^3$

Diberikan $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 5 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}$ di $\mathbb{R}^3$. Hitunglah: (a) $\mathbf{a} - \mathbf{b}$, (b) $\mathbf{0}\mathbf{a} + \mathbf{b}$, (c) $(-1)\mathbf{b}$.

Penyelesaian:

(a) Pengurangan vektor:
\[ \mathbf{a} - \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 5 \\ -3 \\ 2 \end{bmatrix} - \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 5 - (-1) \\ -3 - 4 \\ 2 - 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 6 \\ -7 \\ 0 \end{bmatrix} \]
(b) Perkalian skalar nol: Perkalian dengan skalar $k = 0$ menghasilkan vektor nol:
\[ 0\mathbf{a} + \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix} = \mathbf{b} \]
(c) Negasi vektor: Perkalian dengan skalar $k = -1$ membalikkan arah:
\[ (-1)\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ -4 \\ -2 \end{bmatrix} \]

Perhatikan: $\mathbf{b} + (-1)\mathbf{b} = \mathbf{0}$, yang memverifikasi bahwa $(-1)\mathbf{b}$ memang merupakan invers aditif dari $\mathbf{b}$.

6.3 Hasil Kali Dalam Euclidean (Dot Product)

Operasi perkalian antar-vektor tidak mengikuti aturan perkalian matriks standar karena kendala kesesuaian dimensi — perkalian matriks $\mathbf{u}\mathbf{v}$ untuk dua vektor kolom $n \times 1$ tidak terdefinisi. Kita membutuhkan operasi perkalian khusus yang memetakan pasangan vektor menjadi sebuah skalar tunggal.

Definisi 6.3 — Hasil Kali Dalam Euclidean (Dot Product)

Misalkan $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ adalah dua buah vektor di dalam ruang $\mathbb{R}^n$. Hasil kali dalam Euclidean, dinotasikan $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$, didefinisikan sebagai jumlah total dari hasil perkalian entri komponen yang bersesuaian:

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = u_1 v_1 + u_2 v_2 + \cdots + u_n v_n = \sum_{i=1}^{n} u_i v_i \]

Koneksi ke Perkalian Matriks Bab 3

Menggunakan aturan perkalian matriks baris-kolom dari Bab 3, dot product ekuivalen secara mutlak dengan ekspresi transpose: $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u}^T \mathbf{v}$. Di sini, $\mathbf{u}^T$ berukuran $1 \times n$ dan $\mathbf{v}$ berukuran $n \times 1$, sehingga produknya menghasilkan matriks $1 \times 1$ — yang secara isomorfis identik dengan sebuah skalar real. Identitas ini memungkinkan kita memanfaatkan seluruh sifat aljabar matriks untuk membuktikan sifat-sifat dot product.

Teorema 6.1 — Sifat-Sifat Aljabar Dot Product

Untuk setiap vektor $\mathbf{u}, \mathbf{v}, \mathbf{w} \in \mathbb{R}^n$ dan skalar $k \in \mathbb{R}$, berlaku:

Sifat Komutatif: $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{v} \cdot \mathbf{u}$
Sifat Distributif: $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}$
Homogenitas Skalar: $(k\mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} = k(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) = \mathbf{u} \cdot (k\mathbf{v})$
Sifat Positif Definit: $\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} \geq 0$, dengan $\mathbf{u} \cdot \mathbf{u} = 0$ jika dan hanya jika $\mathbf{u} = \mathbf{0}$

Contoh 6.4 — Kalkulasi Numerik Dot Product di $\mathbb{R}^4$

Hitunglah $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ untuk:

\[ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 5 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix} \]

Penyelesaian:

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (2)(1) + (-1)(5) + (3)(2) + (4)(-2) = 2 - 5 + 6 - 8 = -5 \]

Hasil akhir mengevaluasi nilai skalar bernilai negatif: $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = -5$.

Contoh 6.5 — Verifikasi Sifat Distributif dan Homogenitas Dot Product

Diberikan tiga vektor di $\mathbb{R}^3$: $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix}$, $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 4 \end{bmatrix}$, $\mathbf{w} = \begin{bmatrix} -1 \\ 2 \\ 1 \end{bmatrix}$, dan skalar $k = -3$. Verifikasikan: (a) sifat distributif, (b) homogenitas skalar.

Penyelesaian:

(a) Distributif: $\mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w}$
Sisi kiri — jumlahkan dulu:

\[ \mathbf{v} + \mathbf{w} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{u} \cdot (\mathbf{v} + \mathbf{w}) = (1)(2) + (0)(3) + (-2)(5) = 2 + 0 - 10 = -8 \]

Sisi kanan — dot product terpisah:

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (1)(3) + (0)(1) + (-2)(4) = 3 + 0 - 8 = -5 \]

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} = (1)(-1) + (0)(2) + (-2)(1) = -1 + 0 - 2 = -3 \]

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} + \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} = -5 + (-3) = -8 \]

Kedua sisi menghasilkan $-8$. \; (\checkmark)
(b) Homogenitas: $(k\mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} = k(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})$
Sisi kiri:

\[ k\mathbf{u} = -3\begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -2 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} -3 \\ 0 \\ 6 \end{bmatrix}, \qquad (k\mathbf{u}) \cdot \mathbf{v} = (-3)(3) + (0)(1) + (6)(4) = -9 + 0 + 24 = 15 \]

Sisi kanan:

\[ k(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) = (-3)(-5) = 15 \]

Kedua sisi menghasilkan $15$. \; (\checkmark)

6.4 Norma (Panjang Vektor) dan Vektor Satuan

Definisi 6.4 — Norma Euclidean

Norma atau panjang dari vektor $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^n$, dinotasikan $\|\mathbf{u}\|$, didefinisikan sebagai akar kuadrat dari hasil kali dalam terhadap dirinya sendiri:

\[ \|\mathbf{u}\| = \sqrt{\mathbf{u} \cdot \mathbf{u}} = \sqrt{u_1^2 + u_2^2 + \cdots + u_n^2} \]

Sebuah vektor bersifat vektor satuan (unit vector) jika $\|\mathbf{u}\| = 1$. Proses mengubah vektor tak-nol $\mathbf{v}$ menjadi vektor satuan yang searah dengannya disebut normalisasi:

\[ \hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{\|\mathbf{v}\|} \cdot \mathbf{v} \]

Sifat Norma dan Perkalian Skalar

Berlaku identitas penting: $\|k\mathbf{u}\| = |k| \cdot \|\mathbf{u}\|$ untuk setiap skalar $k$. Perhatikan penggunaan nilai absolut $|k|$ di sisi kanan — norma selalu bernilai non-negatif, sehingga skalar negatif seperti $k = -3$ membalikkan arah vektor tetapi tidak menghasilkan norma negatif.

Contoh 6.6 — Norma dan Normalisasi di $\mathbb{R}^5$

Diberikan $\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \\ -4 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^5$. Hitunglah $\|\mathbf{w}\|$ dan bentuklah vektor satuan $\hat{\mathbf{w}}$.

Penyelesaian:

\[ \|\mathbf{w}\| = \sqrt{2^2 + (-3)^2 + 0^2 + 1^2 + (-4)^2} = \sqrt{4 + 9 + 0 + 1 + 16} = \sqrt{30} \]

\[ \hat{\mathbf{w}} = \frac{1}{\sqrt{30}} \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 0 \\ 1 \\ -4 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{2}{\sqrt{30}} \\[4pt] -\frac{3}{\sqrt{30}} \\[4pt] 0 \\[4pt] \frac{1}{\sqrt{30}} \\[4pt] -\frac{4}{\sqrt{30}} \end{bmatrix} \]

Verifikasi: $\|\hat{\mathbf{w}}\|^2 = \frac{4}{30} + \frac{9}{30} + 0 + \frac{1}{30} + \frac{16}{30} = \frac{30}{30} = 1$ \; (\checkmark)

Contoh 6.7 — Dampak Perkalian Skalar terhadap Norma

Diberikan $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 3 \\ -4 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^2$. Hitunglah: (a) $\|\mathbf{u}\|$, (b) $\|5\mathbf{u}\|$, (c) $\|{-2}\mathbf{u}\|$, dan verifikasi identitas $\|k\mathbf{u}\| = |k| \cdot \|\mathbf{u}\|$.

Penyelesaian:

\[ \|\mathbf{u}\| = \sqrt{9 + 16} = \sqrt{25} = 5 \]

(b) $\|5\mathbf{u}\|$:
\[ 5\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 15 \\ -20 \end{bmatrix}, \qquad \|5\mathbf{u}\| = \sqrt{225 + 400} = \sqrt{625} = 25 = |5| \cdot 5 \; (\checkmark) \]
(c) $\|{-2}\mathbf{u}\|$:
\[ {-2}\mathbf{u} = \begin{bmatrix} -6 \\ 8 \end{bmatrix}, \qquad \|{-2}\mathbf{u}\| = \sqrt{36 + 64} = \sqrt{100} = 10 = |{-2}| \cdot 5 \; (\checkmark) \]

Perhatikan: meskipun skalar $k = -2$ membalikkan arah vektor, panjang vektornya tetap positif karena adanya nilai absolut $|k|$.

6.5 Jarak Euclidean

Definisi 6.5 — Jarak Euclidean

Jarak antara dua titik ujung vektor $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ di dalam $\mathbb{R}^n$, dinotasikan $d(\mathbf{u}, \mathbf{v})$, didefinisikan sebagai norma dari selisih kedua vektor:

\[ d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \|\mathbf{u} - \mathbf{v}\| = \sqrt{(u_1 - v_1)^2 + (u_2 - v_2)^2 + \cdots + (u_n - v_n)^2} \]

Contoh 6.8 — Jarak antar-Titik di $\mathbb{R}^4$

Hitunglah jarak Euclidean antara $\mathbf{p} = \begin{bmatrix} 1 \\ -2 \\ 3 \\ 0 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{q} = \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \\ 3 \\ 5 \end{bmatrix}$ di $\mathbb{R}^4$.

Penyelesaian:

\[ \mathbf{p} - \mathbf{q} = \begin{bmatrix} 1 - (-1) \\ -2 - 4 \\ 3 - 3 \\ 0 - 5 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} 2 \\ -6 \\ 0 \\ -5 \end{bmatrix} \]

\[ d(\mathbf{p}, \mathbf{q}) = \|\mathbf{p} - \mathbf{q}\| = \sqrt{2^2 + (-6)^2 + 0^2 + (-5)^2} = \sqrt{4 + 36 + 0 + 25} = \sqrt{65} \]

Catatan: komponen ketiga bernilai nol, artinya kedua titik memiliki koordinat yang sama pada dimensi ketiga — namun jarak total tidak nol karena perbedaan pada dimensi lainnya.

6.6 Ketaksamaan Cauchy-Schwarz

Di antara seluruh ketaksamaan dalam matematika, ketaksamaan Cauchy-Schwarz menempati posisi sebagai salah satu yang paling fundamental. Ketaksamaan ini menjadi fondasi yang mengizinkan kita mendefinisikan sudut antar-vektor di ruang dimensi tinggi dan membuktikan ketaksamaan segitiga.

Teorema 6.2 — Ketaksamaan Cauchy-Schwarz

Untuk setiap vektor $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$, berlaku batasan mutlak:

\[ |\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}| \leq \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\| \]

Bukti via Fungsi Kuadrat Non-Negatif

Jika $\mathbf{v} = \mathbf{0}$, kedua ruas bernilai nol dan ketaksamaan terbukti trivial. Asumsikan $\mathbf{v} \neq \mathbf{0}$. Perhatikan bahwa untuk setiap skalar $t \in \mathbb{R}$, norma kuadrat selalu non-negatif (Sifat Positif Definit, Teorema 6.1):

\[ 0 \leq \|\mathbf{u} - t\mathbf{v}\|^2 = (\mathbf{u} - t\mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} - t\mathbf{v}) \]

Kembangkan menggunakan sifat distributif dan komutatif dot product:

\[ 0 \leq \mathbf{u} \cdot \mathbf{u} - 2t(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) + t^2(\mathbf{v} \cdot \mathbf{v}) = \|\mathbf{u}\|^2 - 2t(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) + t^2\|\mathbf{v}\|^2 \]

Ekspresi di sisi kanan merupakan polinomial kuadrat dalam variabel $t$ yang selalu non-negatif. Syarat agar polinomial kuadrat $at^2 + bt + c$ dengan $a > 0$ selalu non-negatif adalah diskriminannya tidak positif ($b^2 - 4ac \leq 0$). Dengan $a = \|\mathbf{v}\|^2 > 0$, $b = -2(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})$, dan $c = \|\mathbf{u}\|^2$:

\[ 4(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})^2 - 4\|\mathbf{v}\|^2 \|\mathbf{u}\|^2 \leq 0 \]

Sederhanakan dan ambil akar kuadrat kedua ruas:

\[ (\mathbf{u} \cdot \mathbf{v})^2 \leq \|\mathbf{u}\|^2 \|\mathbf{v}\|^2 \quad \implies \quad |\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}| \leq \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\| \qquad \square \]

Kasus kesetaraan: $|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}| = \|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|$ terjadi jika dan hanya jika $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ saling bergantung linear (salah satunya merupakan kelipatan skalar dari yang lain).

Contoh 6.9 — Verifikasi Numerik Ketaksamaan Cauchy-Schwarz

Verifikasikan ketaksamaan Cauchy-Schwarz untuk $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ 1 \\ -3 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} -1 \\ 4 \\ 2 \end{bmatrix}$.

Penyelesaian:

Hitung ketiga kuantitas yang diperlukan:

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (2)(-1) + (1)(4) + (-3)(2) = -2 + 4 - 6 = -4 \]

\[ \|\mathbf{u}\| = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}, \qquad \|\mathbf{v}\| = \sqrt{1 + 16 + 4} = \sqrt{21} \]

Bandingkan kedua ruas:

\[ |\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}| = |-4| = 4, \qquad \|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\| = \sqrt{14} \cdot \sqrt{21} = \sqrt{294} \approx 17.15 \]

\[ 4 \leq 17.15 \; (\checkmark) \]

Ketaksamaan ini bersifat ketat ($<$, bukan $=$), yang konsisten dengan fakta bahwa $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ tidak saling bergantung linear — tidak ada skalar $k$ sehingga $\mathbf{u} = k\mathbf{v}$.

6.7 Ketaksamaan Segitiga

Teorema 6.3 — Ketaksamaan Segitiga

Untuk setiap vektor $\mathbf{u}, \mathbf{v} \in \mathbb{R}^n$, berlaku:

\[ \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| \leq \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\| \]

Bukti via Ketaksamaan Cauchy-Schwarz

Ekspansikan norma kuadrat dari $\mathbf{u} + \mathbf{v}$:

\[ \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \|\mathbf{u}\|^2 + 2(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) + \|\mathbf{v}\|^2 \]

Karena $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} \leq |\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}|$, kita peroleh batasan atas:

\[ \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 \leq \|\mathbf{u}\|^2 + 2|\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}| + \|\mathbf{v}\|^2 \]

Terapkan Ketaksamaan Cauchy-Schwarz (Teorema 6.2) pada suku tengah:

\[ \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 \leq \|\mathbf{u}\|^2 + 2\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\| + \|\mathbf{v}\|^2 = \big(\|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|\big)^2 \]

Ambil akar kuadrat kedua ruas (kedua sisi non-negatif):

\[ \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| \leq \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\| \qquad \square \]

Interpretasi geometri: Dalam segitiga yang dibentuk oleh vektor $\mathbf{u}$, $\mathbf{v}$, dan $\mathbf{u}+\mathbf{v}$, panjang sisi miring ($\|\mathbf{u}+\mathbf{v}\|$) tidak pernah melebihi jumlah panjang dua sisi lainnya — generalisasi langsung hukum segitiga Euclidean klasik ke dimensi berapapun.

Contoh 6.10 — Verifikasi Numerik Ketaksamaan Segitiga

Verifikasikan ketaksamaan segitiga untuk $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -1 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 2 \end{bmatrix}$.

Penyelesaian:

\[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 1 \\ 1 \end{bmatrix}, \qquad \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| = \sqrt{16 + 1 + 1} = \sqrt{18} \approx 4.243 \]

\[ \|\mathbf{u}\| = \sqrt{1 + 4 + 1} = \sqrt{6} \approx 2.449, \qquad \|\mathbf{v}\| = \sqrt{9 + 1 + 4} = \sqrt{14} \approx 3.742 \]

\[ \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\| = \sqrt{6} + \sqrt{14} \approx 2.449 + 3.742 = 6.191 \]

\[ \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| \approx 4.243 \leq 6.191 \approx \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\| \; (\checkmark) \]

Ketaksamaan bersifat ketat karena $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ tidak searah (tidak ada $k > 0$ sehingga $\mathbf{u} = k\mathbf{v}$). Jika keduanya searah, baru terjadi kasus kesetaraan $\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| = \|\mathbf{u}\| + \|\mathbf{v}\|$.

6.8 Sudut Antar-Vektor

Berkat adanya Ketaksamaan Cauchy-Schwarz, nilai rasio $\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}$ selalu berada di dalam interval tertutup $[-1, 1]$. Kondisi ini menjamin bahwa kita dapat mendefinisikan sudut geometri ($\theta$) di antara dua vektor tak-nol menggunakan fungsi invers kosinus.

Teorema 6.4 — Definisi Sudut Antar-Vektor

Jika $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ adalah vektor tak-nol di $\mathbb{R}^n$, maka sudut $\theta$ di antara keduanya didefinisikan secara unik pada interval $[0, \pi]$ oleh:

\[ \cos(\theta) = \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\| \cdot \|\mathbf{v}\|}, \qquad 0 \leq \theta \leq \pi \]

Validasi Definisi via Cauchy-Schwarz

Definisi ini sah secara matematis hanya jika rasio di sisi kanan selalu berada pada domain fungsi $\arccos$, yaitu $[-1, 1]$. Ketaksamaan Cauchy-Schwarz menjamin tepat hal ini:

\[ -1 \leq \frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|} \leq 1 \]

Dengan demikian, $\theta = \arccos\!\left(\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}\right)$ selalu terdefinisi dengan baik untuk setiap pasangan vektor tak-nol. ∎

Contoh 6.11 — Sudut Tumpul dan Sudut Lancip di $\mathbb{R}^3$

Hitunglah sudut antara pasangan vektor berikut dan tentukan jenis sudutnya (lancip, siku-siku, atau tumpul):

(a) $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 2 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} 3 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$

(b) $\mathbf{c} = \begin{bmatrix} -2 \\ 1 \\ 3 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{d} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$

Penyelesaian:

(a)
\[ \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = (1)(3) + (2)(-1) + (2)(0) = 3 - 2 + 0 = 1 \]

\[ \|\mathbf{a}\| = \sqrt{1 + 4 + 4} = 3, \qquad \|\mathbf{b}\| = \sqrt{9 + 1 + 0} = \sqrt{10} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{1}{3\sqrt{10}} \approx 0.1054 > 0 \implies \theta \approx \arccos(0.1054) \approx 84.0^\circ \]

Karena $\cos(\theta) > 0$, sudut bersifat lancip ($\theta < 90^\circ$).
(b)
\[ \mathbf{c} \cdot \mathbf{d} = (-2)(1) + (1)(0) + (3)(-1) = -2 + 0 - 3 = -5 \]

\[ \|\mathbf{c}\| = \sqrt{4 + 1 + 9} = \sqrt{14}, \qquad \|\mathbf{d}\| = \sqrt{1 + 0 + 1} = \sqrt{2} \]

\[ \cos(\theta) = \frac{-5}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{2}} = \frac{-5}{\sqrt{28}} \approx -0.9449 < 0 \implies \theta \approx \arccos(-0.9449) \approx 160.9^\circ \]

Karena $\cos(\theta) < 0$, sudut bersifat tumpul ($\theta > 90^\circ$). Tanda negatif pada dot product secara langsung mengindikasikan sudut tumpul.

6.9 Ortogonalitas

Definisi 6.6 — Vektor Ortogonal

Dua vektor $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ di dalam $\mathbb{R}^n$ dinyatakan ortogonal (saling tegak lurus) jika dan hanya jika hasil kali dalamnya bernilai nol:

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0 \]

Notasi standar: $\mathbf{u} \perp \mathbf{v}$. Secara geometris, ortogonalitas setara dengan sudut $\theta = \frac{\pi}{2}$ ($90^\circ$), karena $\cos(\pi/2) = 0$.

Vektor Nol dan Ortogonalitas

Vektor nol $\mathbf{0}$ memenuhi $\mathbf{0} \cdot \mathbf{v} = 0$ untuk setiap vektor $\mathbf{v}$. Oleh karena itu, secara teknis vektor nol ortogonal terhadap semua vektor. Namun, konsep "sudut" tidak terdefinisi ketika salah satu vektor bernilai nol (karena pembagi $\|\mathbf{0}\| = 0$). Dalam konteks pembahasan ortogonalitas yang bermakna, kita hampir selalu mengasumsikan kedua vektor bersifat tak-nol.

Contoh 6.12 — Perhitungan Norma, Jarak, Normalisasi, dan Sudut

Diberikan $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 3 \\ -2 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix}$ di $\mathbb{R}^3$. Hitunglah: (a) $\|\mathbf{u}\|$, (b) $d(\mathbf{u}, \mathbf{v})$, (c) vektor satuan $\hat{\mathbf{v}}$, (d) sudut $\theta$ antara $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$.

Penyelesaian:

(a) Norma $\mathbf{u}$:
\[ \|\mathbf{u}\| = \sqrt{1^2 + 3^2 + (-2)^2} = \sqrt{1 + 9 + 4} = \sqrt{14} \]
(b) Jarak Euclidean:
Vektor selisih: $\mathbf{u} - \mathbf{v} = \begin{bmatrix} -3 \\ 4 \\ -2 \end{bmatrix}$.

\[ d(\mathbf{u}, \mathbf{v}) = \|\mathbf{u} - \mathbf{v}\| = \sqrt{(-3)^2 + 4^2 + (-2)^2} = \sqrt{9 + 16 + 4} = \sqrt{29} \]
(c) Normalisasi $\mathbf{v}$:
Norma: $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{16 + 1 + 0} = \sqrt{17}$.

\[ \hat{\mathbf{v}} = \frac{1}{\sqrt{17}} \begin{bmatrix} 4 \\ -1 \\ 0 \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} \frac{4}{\sqrt{17}} \\[4pt] -\frac{1}{\sqrt{17}} \\[4pt] 0 \end{bmatrix} \]

Verifikasi: $\|\hat{\mathbf{v}}\|^2 = \frac{16}{17} + \frac{1}{17} + 0 = 1$ \; (\checkmark)
(d) Sudut antar-vektor:
Dot product: $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (1)(4) + (3)(-1) + (-2)(0) = 4 - 3 + 0 = 1$.

Norma: $\|\mathbf{v}\| = \sqrt{17}$ (sudah dihitung), $\|\mathbf{u}\| = \sqrt{14}$.

\[ \cos(\theta) = \frac{1}{\sqrt{14} \cdot \sqrt{17}} = \frac{1}{\sqrt{238}} \approx 0.0648 \implies \theta \approx \arccos(0.0648) \approx 86.3^\circ \]

Contoh 6.13 — Verifikasi Ortogonalitas

Tentukan apakah pasangan vektor berikut ortogonal: $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 1 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$.

Penyelesaian:

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (1)(0) + (0)(1) + (1)(0) = 0 \]

Karena $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$ dan kedua vektor tak-nol, maka $\mathbf{u} \perp \mathbf{v}$. Sudut antara keduanya: $\cos(\theta) = 0 \implies \theta = \frac{\pi}{2} = 90^\circ$.

Contoh 6.14 — Mencari Vektor Ortogonal di $\mathbb{R}^3$

Diberikan $\mathbf{a} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 3 \end{bmatrix}$. Tentukan sebuah vektor tak-nol $\mathbf{b} = \begin{bmatrix} x \\ y \\ z \end{bmatrix}$ yang ortogonal terhadap $\mathbf{a}$.

Penyelesaian:

Syarat ortogonalitas: $\mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 0$, yang memberikan persamaan linear:

\[ 2x - y + 3z = 0 \]

Persamaan ini memiliki tak hingga penyelesaian (satu persamaan dengan tiga variabel bebas). Kita bebas memilih dua variabel dan menghitung yang ketiga. Misalkan $x = 1$ dan $z = 0$:

\[ 2(1) - y + 3(0) = 0 \implies y = 2 \]

\[ \mathbf{b} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \text{verifikasi: } \mathbf{a} \cdot \mathbf{b} = 2(1) + (-1)(2) + 3(0) = 0 \; (\checkmark) \]

Catatan: himpunan seluruh vektor ortogonal terhadap $\mathbf{a}$ membentuk sebuah bidang melalui titik asal di $\mathbb{R}^3$ — sebuah konsep yang akan diformalkan sebagai ruang nol (null space) pada Bab 8 dan ortogonal complement pada Bab 12.

Teorema 6.5 — Pythagoras di $\mathbb{R}^n$

Jika dua vektor $\mathbf{u}$ dan $\mathbf{v}$ di $\mathbb{R}^n$ bersifat ortogonal ($\mathbf{u} \perp \mathbf{v}$), maka:

\[ \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 \]

Bukti

\[ \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = (\mathbf{u} + \mathbf{v}) \cdot (\mathbf{u} + \mathbf{v}) = \|\mathbf{u}\|^2 + 2(\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}) + \|\mathbf{v}\|^2 \]

Karena $\mathbf{u} \perp \mathbf{v}$, suku tengah $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0$, sehingga:

\[ \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 \qquad \square \]

Generalisasi: Teorema ini meluas ke sebarang jumlah vektor yang saling ortogonal: jika $\mathbf{v}_1 \perp \mathbf{v}_2 \perp \cdots \perp \mathbf{v}_k$, maka $\|\mathbf{v}_1 + \cdots + \mathbf{v}_k\|^2 = \|\mathbf{v}_1\|^2 + \cdots + \|\mathbf{v}_k\|^2$. Fakta ini menjadi dasar komputasi efisien pada proses orthogonalization Bab 12.

Contoh 6.15 — Verifikasi Teorema Pythagoras di $\mathbb{R}^4$

Verifikasikan Teorema Pythagoras untuk $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 0 \\ -1 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ -1 \\ 1 \\ 0 \end{bmatrix}$ di $\mathbb{R}^4$.

Penyelesaian:

Langkah 1 — Verifikasi ortogonalitas:

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = (1)(2) + (2)(-1) + (0)(1) + (-1)(0) = 2 - 2 + 0 + 0 = 0 \; (\checkmark) \]

Langkah 2 — Hitung norma kuadrat masing-masing:

\[ \|\mathbf{u}\|^2 = 1 + 4 + 0 + 1 = 6, \qquad \|\mathbf{v}\|^2 = 4 + 1 + 1 + 0 = 6 \]

Langkah 3 — Hitung norma kuadrat penjumlahan:

\[ \mathbf{u} + \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 3 \\ 1 \\ 1 \\ -1 \end{bmatrix}, \qquad \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = 9 + 1 + 1 + 1 = 12 \]

Langkah 4 — Verifikasi:

\[ \|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|^2 = 12 = 6 + 6 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 \; (\checkmark) \]

Sebagai perbandingan, jika kita menghitung $\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\|$ secara langsung tanpa Pythagoras: $\|\mathbf{u} + \mathbf{v}\| = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$, yang konsisten karena $\sqrt{\|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2} = \sqrt{6 + 6} = \sqrt{12} = 2\sqrt{3}$.

Contoh 6.16 — Ortogonalitas Tiga Vektor dan Pythagoras Generalisasi

Verifikasikan bahwa ketiga vektor berikut saling ortogonal, lalu verifikasi Pythagoras generalisasi: $\|\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w}\|^2 = \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2$.

\[ \mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{v} = \begin{bmatrix} 0 \\ 2 \\ 0 \end{bmatrix}, \qquad \mathbf{w} = \begin{bmatrix} 0 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix} \]

Penyelesaian:

Ortogonalitas berpasangan:

\[ \mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = 0, \qquad \mathbf{u} \cdot \mathbf{w} = 0, \qquad \mathbf{v} \cdot \mathbf{w} = 0 \; (\checkmark) \]

Norma kuadrat individual:

\[ \|\mathbf{u}\|^2 = 1, \qquad \|\mathbf{v}\|^2 = 4, \qquad \|\mathbf{w}\|^2 = 9 \]

Penjumlahan dan norma kuadrat:

\[ \mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ 3 \end{bmatrix}, \qquad \|\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w}\|^2 = 1 + 4 + 9 = 14 \]

\[ \|\mathbf{u}\|^2 + \|\mathbf{v}\|^2 + \|\mathbf{w}\|^2 = 1 + 4 + 9 = 14 = \|\mathbf{u} + \mathbf{v} + \mathbf{w}\|^2 \; (\checkmark) \]

Ketiga vektor ini membentuk sumbu koordinat yang telah diskalakan — kasus khusus dari himpunan ortogonal yang akan menjadi topik sentral pada Bab 12 tentang dekomposisi ortogonal.

Perspektif Aljabar Bab Ini

Bab 6 membangun tiga lapis metrik geometri di atas fondasi aljabar sederhana: operasi entri-per-entri menghasilkan penjumlahan vektor dan perkalian skalar, dot product mengkondensasi interaksi dua vektor menjadi satu skalar, dan dari dot product lahirlah norma, jarak, dan sudut. Kunci keberhasilan seluruh konstruksi ini terletak pada satu ketaksamaan tunggal — Cauchy-Schwarz — yang menjamin bahwa rasio $\frac{\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}}{\|\mathbf{u}\|\|\mathbf{v}\|}$ selalu berada pada domain $\arccos$, sehingga konsep "sudut" bermakna bahkan di ruang berdimensi tinggi yang tidak dapat divisualisasi.

Tiga operasi yang diformalkan di bab ini — penjumlahan vektor, perkalian skalar, dan dot product — bukanlah kemewahan matematis. Pada Bab 7, ketiga operasi ini akan diangkat menjadi aksioma penentu yang mendefinisikan seluruh konsep ruang vektor abstrak. Setiap struktur aljabar yang memenuhi delapan aksioma tersebut — baik berupa vektor geometri, matriks, polinomial, maupun fungsi — akan mewarisi seluruh sifat yang telah kita buktikan di bab ini, termasuk ketaksamaan Cauchy-Schwarz dan ketaksamaan segitiga.

Latihan Evaluasi Akhir Bab 6

Diberikan $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 2 \\ -3 \\ 1 \\ 5 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 0 \\ -4 \\ 2 \end{bmatrix}$ di $\mathbb{R}^4$. Hitunglah: (a) $4\mathbf{u} - 3\mathbf{v}$, (b) $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$.
Hitunglah nilai dot product $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v}$ di dalam $\mathbb{R}^5$: $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ -1 \\ 2 \\ 0 \\ 3 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 4 \\ 2 \\ 1 \\ -5 \\ -1 \end{bmatrix}$.
Hitunglah $\|\mathbf{w}\|$ dan bentuklah vektor satuan $\hat{\mathbf{w}}$ untuk $\mathbf{w} = \begin{bmatrix} 2 \\ -2 \\ 4 \\ 1 \end{bmatrix} \in \mathbb{R}^4$. Verifikasi bahwa $\|\hat{\mathbf{w}}\| = 1$.
Hitunglah jarak Euclidean $d(\mathbf{u}, \mathbf{v})$ untuk $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 3 \\ 5 \\ -1 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 1 \\ 1 \\ -2 \end{bmatrix}$ di $\mathbb{R}^3$.
Tentukan apakah pasangan vektor berikut ortogonal, kemudian hitung sudut $\theta$ (dalam derajat) di antara keduanya: $\mathbf{u} = \begin{bmatrix} 1 \\ 2 \\ -2 \end{bmatrix}$ dan $\mathbf{v} = \begin{bmatrix} 2 \\ 3 \\ 4 \end{bmatrix}$.
Buktikan identitas sifat norma terhadap perkalian skalar: $\|k\mathbf{u}\| = |k| \cdot \|\mathbf{u}\|$ untuk setiap $k \in \mathbb{R}$ dan $\mathbf{u} \in \mathbb{R}^n$. Jelaskan mengapa nilai absolut $|k|$ diperlukan di sisi kanan.
Verifikasi identitas matriks $\mathbf{u} \cdot \mathbf{v} = \mathbf{u}^T \mathbf{v}$ secara eksplisit menggunakan vektor pada soal nomor 1. Tuliskan matriks baris $\mathbf{u}^T$ dan matriks kolom $\mathbf{v}$, lalu lakukan perkalian matriks standar Bab 3 dan bandingkan hasilnya dengan dot product entri-per-entri.
Soal Pemikiran Koneksi Bab 7: Pada Bab 7, kita akan mendefinisikan ruang vektor abstrak sebagai himpunan mana pun yang dilengkapi operasi penjumlahan dan perkalian skalar memenuhi delapan aksioma. Dengan merujuk pada Definisi 6.2 dan Teorema 6.1, identifikasi aksioma-aksioma apa saja (misalnya: komutatif, asosiatif, distributif, keberadaan elemen identitas, dan sebagainya) yang dapat Anda verifikasi langsung terpenuhi oleh $\mathbb{R}^n$ berdasarkan sifat-sifat aritmetika bilangan real biasa.

Bab sebelumnya

Determinan

Bab berikutnya

Ruang Vektor & Subruang