Eliminasi Gauss dan Bentuk Eselon Baris
Bab 1 mengenalkan eliminasi Gauss sebagai teknik intuitif: buat nol di bawah pivot, lalu baca solusi dari bawah. Bab ini memformalkan proses tersebut dengan dua bentuk standar — REF dan RREF — serta menunjukkan bagaimana bentuk akhir matriks augmented secara langsung menjawab tiga pertanyaan fundamental: apakah solusi ada, berapa banyak, dan bagaimana menulisnya.
2.1 Bentuk Eselon Baris (REF)
Dalam suatu baris tak-nol dari matriks, posisi pivot adalah kolom pertama yang memuat entri tak-nol. Jika suatu baris seluruhnya nol, baris tersebut tidak memiliki posisi pivot.
Posisi pivot adalah posisi entri utama (angka tak-nol pertama) di setiap baris non-nol pada matriks berbentuk eselon. Dari matriks di atas, kita dapat mengidentifikasinya sebagai berikut:
- Baris 1: Entri tak-nol pertama adalah $3$, berada di kolom 2.
- Baris 2: Entri tak-nol pertama adalah $2$, berada di kolom 3.
- Baris 3: Entri tak-nol pertama adalah $5$, berada di kolom 4.
- Baris 4: Tidak memiliki pivot karena merupakan baris nol.
Kolom 2, 3, dan 4 disebut sebagai kolom pivot, sedangkan variabel yang bersesuaian dengan kolom 1 (yang tidak memiliki pivot) akan menjadi variabel bebas.
Sebuah matriks dikatakan dalam bentuk eselon baris (row echelon form) jika memenuhi tiga syarat:
- Semua baris nol (jika ada) berada di bagian bawah matriks.
- Posisi pivot setiap baris tak-nol berada di kanan posisi pivot baris di atasnya.
- Entri di bawah setiap pivot semuanya nol.
Untuk memahami Row Echelon Form (REF), sebuah matriks harus memenuhi tiga aturan dasar: (1) Semua baris nol berada di paling bawah, (2) Pivot setiap baris harus berada lebih ke kanan dari pivot baris di atasnya, dan (3) Semua entri di bawah pivot wajib bernilai nol.
1. Memenuhi Syarat REF (Struktur Tangga Sempurna):
Matriks ini valid sebagai REF karena entri utama tak-nol (pivot) pada posisi $(1,1)$, $(2,2)$, dan $(3,3)$ secara konsisten bergeser ke kanan membentuk pola tangga, dan seluruh area di bawah garis tangga tersebut bernilai nol.
2. Bukan REF (Melanggar Aturan Pergeseran Kanan):
Matriks ini gagal memenuhi syarat REF karena urutan kolom pivotnya mundur. Pivot baris kedua berada di kolom 3, sedangkan pivot baris ketiga justru bergeser kembali ke kiri ke kolom 2. Masalah ini dapat diselesaikan dengan menukar baris ($R_2 \leftrightarrow R_3$).
3. Bukan REF (Melanggar Aturan Nol di Bawah Pivot):
Matriks ini bukan bentuk REF karena entri di bawah posisi pivot $(2,2)$ tidak bersih. Angka $\color{#dc2626}{2}$ pada posisi $(3,2)$ berada langsung di bawah pivot $3$, yang melanggar aturan eliminasi. Kita membutuhkan operasi baris elementer ($R_3 - \frac{2}{3}R_2$) untuk menghilangkan angka tersebut.
2.1.1 Posisi Pivot dan Kolom Pivot
Kolom yang memuat pivot suatu baris disebut kolom pivot. Jumlah pivot sama dengan jumlah baris tak-nol, dan ini menentukan rank matriks (yang akan dibahas formal di Bab 8). Untuk matriks augmented, kolom terakhir (kolom konstanta) tidak pernah menjadi kolom pivot — ia hanya berperan sebagai sisi kanan persamaan.
Tidak setiap kolom menjadi kolom pivot. Kolom yang tidak memuat pivot disebut kolom bebas, dan variabel yang sesuai disebut variabel bebas. Ini akan menjadi kunci untuk memahami solusi tak hingga di Bagian 2.5.
2.2 Bentuk Eselon Baris Tereduksi (RREF)
Sebuah matriks dalam REF dikatakan dalam bentuk eselon baris tereduksi (reduced row echelon form) jika memenuhi dua syarat tambahan:
- Setiap pivot bernilai tepat 1.
- Setiap pivot adalah satu-satunya entri tak-nol di kolomnya.
REF tetapi bukan RREF:
Pivot bukan 1 (melanggar syarat 4), dan ada entri tak-nol di atas pivot di kolom 1 dan 2 (melanggar syarat 5).
RREF:
Semua pivot = 1, dan setiap pivot adalah satu-satunya entri tak-nol di kolomnya.
REF cukup untuk menentukan ada tidaknya solusi dan jumlah solusi. Ia lebih cepat dihitung (langkah lebih sedikit) dan menjadi dasar bagi faktorisasi LU di Bab 4. RREF memberikan informasi penuh: selain keberadaan solusi, ia langsung menunjukkan solusi dalam bentuk eksplisit tanpa perlu back-substitution. Untuk pekerjaan tangan, RREF lebih nyaman; untuk algoritma komputer, REF lebih efisien.
2.3 Algoritma Gauss-Jordan
Algoritma Gauss-Jordan adalah perluasan eliminasi Gauss: setelah membuat nol di bawah setiap pivot (fase forward elimination), kita lanjutkan membuat nol di atas setiap pivot dan menormalisasi pivot menjadi 1 (fase back elimination). Hasil akhirnya adalah RREF.
Fase 1: Forward Elimination (sama seperti Bab 1)
Untuk setiap kolom dari kiri ke kanan:
- Pilih baris pivot (baris paling atas yang belum diproses, dengan entri tak-nol di kolom ini). Jika perlu, tukar baris.
- Buat nol di bawah pivot: untuk setiap baris di bawah baris pivot, lakukan $R_i + kR_{\text{pivot}} \to R_i$ dengan $k$ dipilih agar entri di kolom pivot menjadi nol.
Fase 2: Back Elimination (langkah tambahan Gauss-Jordan)
Mulai dari pivot paling bawah, naik ke atas:
- Normalisasi: kalikan baris pivot dengan $1/\text{pivot}$ agar pivot = 1.
- Buat nol di atas pivot: untuk setiap baris di atas baris pivot, lakukan $R_i + kR_{\text{pivot}} \to R_i$.
Selesaikan sistem dari Bab 1: $x_1 - 2x_2 + x_3 = 0$, $2x_2 - 8x_3 = 8$, $5x_1 - 5x_3 = 10$.
Forward elimination selesai (matriks sudah REF). Lanjut ke back elimination:
RREF tercapai. Solusi dibaca langsung dari kolom terakhir: $x_1 = 1$, $x_2 = 0$, $x_3 = -1$. Tidak perlu back-substitution — itulah keuntungan RREF.
2.4 Analisis Solusi dari RREF
Bentuk RREF matriks augmented menjawab semua pertanyaan tentang solusi secara langsung. Kuncinya adalah mengamati baris-baris setelah eliminasi selesai.
2.4.1 Solusi Unik
Jika setiap kolom variabel dalam matriks augmented (selain kolom konstanta) memuat pivot, maka sistem memiliki satu solusi unik.
Tiga kolom variabel, tiga pivot, nol variabel bebas. Solusi dibaca langsung: $x_1 = 4$, $x_2 = -1$, $x_3 = 3$.
2.4.2 Tak Hingga Solusi
Jika ada kolom variabel yang tidak memuat pivot (dan tidak ada baris $0 = b$), maka sistem memiliki tak hingga banyak solusi. Setiap variabel yang kolomnya tanpa pivot menjadi variabel bebas dan dapat mengambil sebarang nilai real.
Selesaikan: $x_1 + 2x_2 - x_3 = 3$, $2x_1 + 4x_2 - 2x_3 = 6$.
Baris 2 seluruhnya nol — ini bukan kontradiksi (karena $0 = 0$ benar). Kolom 2 dan 3 tidak memiliki pivot, jadi $x_2$ dan $x_3$ adalah variabel bebas. Dari baris 1: $x_1 = 3 - 2x_2 + x_3$.
Solusi parametrik:
Dengan memilih sebarang $s$ dan $t$, kita mendapatkan solusi. Misalnya: $s = 0, t = 1 \Rightarrow (4, 0, 1)$; $s = 1, t = 0 \Rightarrow (1, 1, 0)$; $s = -1, t = 2 \Rightarrow (7, -1, 2)$; dan seterusnya.
2.4.3 Tidak Ada Solusi
Jika RREF matriks augmented memuat baris berbentuk
maka sistem inkonsisten (tidak memiliki solusi).
Baris kontradiksi hanya muncul di RREF, bukan di REF. Pada REF, baris seperti $[0\;\; 2\;\; -4 \mid 6]$ bukan kontradiksi — entri-entrinya belum dinormalisasi. Pastikan proses eliminasi dilanjutkan hingga RREF sebelum menyimpulkan inkonsistensi.
Baris 3 memberikan $0 \cdot x_1 + 0 \cdot x_2 = 4$, yaitu $0 = 4$ — kontradiksi. Sistem inkonsisten.
2.5 Variabel Bebas dan Solusi Parametrik
Ketika ada variabel bebas, kita menuliskan solusi dalam bentuk parametrik: variabel pivot dinyatakan dalam bentuk variabel bebas, dan variabel bebas diberi parameter.
Selesaikan sistem linear berikut: $x_1 + x_2 - x_3 + 2x_4 = 4$, $x_3 - x_4 = 1$.
Matriks sekarang berada dalam bentuk eselon baris tereduksi (RREF). Pivot berada di kolom 1 dan kolom 3. Kolom 2 dan kolom 4 tidak memiliki pivot, sehingga $x_2$ dan $x_4$ bertindak sebagai variabel bebas. Kita definisikan parameter $x_2 = s$ dan $x_4 = t$ di mana $s, t \in \mathbb{R}$.
Kita dapat membaca solusi secara langsung dari baris-baris matriks RREF:
- Dari baris 2: $x_3 - x_4 = 1 \implies x_3 - t = 1 \implies \boxed{x_3 = 1 + t}$
- Dari baris 1: $x_1 + x_2 + x_4 = 5 \implies x_1 + s + t = 5 \implies \boxed{x_1 = 5 - s - t}$
Solusi Parametrik (Bentuk Vektor):
Urutan parameter biasanya mengikuti urutan alami dari kolom variabel bebas. Jika kolom 2 dan 4 bebas, parameter pertama ($s$) dipasangkan ke $x_2$ dan parameter kedua ($t$) ke $x_4$. Pola ini disarankan demi kerapian, namun tidak wajib—hal terpenting adalah setiap variabel bebas mendapatkan parameter unik yang independen satu sama lain.
Jika sistem persamaan linear $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ konsisten dan memiliki setidaknya satu variabel bebas, maka solusi umumnya dapat didekomposisi secara tunggal menjadi:
Di mana $\mathbf{p}$ adalah sebuah solusi khusus (particular solution) yang memenuhi $A\mathbf{p} = \mathbf{b}$, sedangkan vektor-vektor $\mathbf{v}_1, \ldots, \mathbf{v}_k$ merupakan solusi fondasi dari sistem homogen terkait ($A\mathbf{x} = \mathbf{0}$) yang merepresentasikan arah pergeseran ruang solusi untuk setiap variabel bebas. Pembuktian formal struktur ruang ini akan dibahas secara detail pada Bab 8 menggunakan teori ruang vektor (vector spaces).
2.6 Sistem Homogen
Sistem persamaan linear disebut homogen jika vektor konstanta $\mathbf{b} = \mathbf{0}$, yaitu:
Sistem homogen selalu konsisten karena $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ (vektor nol) selalu memenuhi persamaan. Solusi ini disebut solusi trivial.
2.6.1 Solusi Trivial dan Non-Trivial
Solusi $\mathbf{x} = \mathbf{0}$ disebut solusi trivial. Setiap solusi lain dari sistem homogen disebut solusi non-trivial.
Pertanyaan fundamental: kapan sistem homogen memiliki solusi non-trivial?
2.6.2 Lebih Variabel dari Persamaan
Jika sistem homogen memiliki lebih banyak variabel daripada persamaan ($n > m$), maka sistem pasti memiliki solusi non-trivial.
Matriks augmented sistem homogen $m \times n$ memiliki $n$ kolom variabel dan $1$ kolom konstanta (semua nol). Setelah eliminasi, jumlah pivot $\leq m < n$. Karena ada lebih banyak kolom daripada pivot, pasti ada kolom yang tidak menjadi kolom pivot → ada variabel bebas → solusi non-trivial. (Bukti rigorus memerlukan teorema rank-nullity dari Bab 8.)
2 persamaan, 3 variabel — pasti ada solusi non-trivial:
Pivot hanya di kolom 1. Kolom 2 dan 3 bebas. Dari baris 1: $x_1 - 2x_2 + 3x_3 = 0 \Rightarrow x_1 = 2x_2 - 3x_3$. Solusi non-trivial misalnya: $x_2 = 3, x_3 = 1 \Rightarrow x_1 = 3$, yaitu $(3, 3, 1)$.
Jika $m \geq n$, sistem homogen masih bisa memiliki solusi non-trivial — bergantung pada matriks koefisiennya. Misalnya, sistem $3 \times 3$ dengan matriks identitas $I\mathbf{x} = \mathbf{0}$ hanya memiliki solusi trivial. Tapi jika salah satu baris merupakan kelipatan baris lain, maka pasti ada solusi non-trivial. Kriteria lengkapnya: solusi non-trivial ada jika dan hanya jika rank matriks < $n$. Ini akan dibahas lebih lanjut di Bab 8.
Meskipun $m = n = 3$, baris 2 dan 3 adalah kelipatan baris 1 → rank < 3 → ada solusi non-trivial. Dari baris 1: $x_1 + 2x_2 - x_3 = 0$, misalnya $(1, 0, 1)$.
Bab 2 menyelesaikan masalah yang ditinggalkan Bab 1: bagaimana menentukan keberadaan, jumlah, dan bentuk solusi secara sistematis? Jawabannya terletak sepenuhnya pada RREF. Tiga kemungkinan (unik, tak hingga, tidak ada) diputuskan oleh dua hal: (1) adanya baris $0 = b$ dengan $b \neq 0$, dan (2) apakah ada kolom tanpa pivot. Bab ini juga memperkenalkan sistem homogen dan teorema penting bahwa $n > m$ menjamin solusi non-trivial — sebuah hasil yang tampak sederhana tapi memiliki konsekuensi mendalam untuk teori ruang vektor (Bab 7) dan nilai eigen (Bab 10).
- Tentukan mana yang REF (Row Echelon Form) dan mana yang bukan REF. Jelaskan syarat yang dilanggar:
- (a) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 3 \\ 0 & 1 & -1 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
- (b) $\begin{bmatrix} 0 & 1 & 0 \\ 1 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
- (c) $\begin{bmatrix} 2 & 3 & 1 \\ 0 & 0 & 4 \\ 0 & 0 & 0 \end{bmatrix}$
- (d) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 \end{bmatrix}$
- Ubah matriks berikut menjadi RREF (Reduced Row Echelon Form). Tunjukkan setiap langkah operasi baris elementer:
- (a) $\begin{bmatrix} 0 & 3 & -6 \\ 2 & -2 & 4 \\ 4 & 1 & -3 \end{bmatrix}$
- (b) $\begin{bmatrix} 1 & 0 & -2 & 1 \\ 0 & 3 & 1 & 4 \\ 0 & 5 & 3 & 7 \end{bmatrix}$
- (c) $\begin{bmatrix} 1 & 2 & 0 & 3 & 1 \\ -1 & 0 & 3 & 0 & -2 \\ 0 & 1 & 1 & 2 & 1 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 0 \end{bmatrix}$
- Selesaikan setiap sistem linear berikut menggunakan metode eliminasi Gauss-Jordan (lanjutkan hingga RREF, lalu baca solusinya). Nyatakan apakah solusinya unik, tak hingga, atau tidak ada solusi sama sekali:
- (a) $x_1 - x_2 + 3x_3 = 4$, $2x_1 + x_2 - x_3 = 2$, $x_1 + 4x_2 - 2x_3 = 10$
- (b) $x_1 + x_2 - x_3 = 1$, $2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 2$, $3x_1 + 3x_2 - 3x_3 = 5$
- (c) $x_1 + 2x_2 + x_3 = 6$, $x_1 - x_2 + x_3 = 2$, $2x_1 + x_2 - x_3 = 1$
- (d) $x_1 - x_3 = 2$, $x_2 + 2x_3 = 1$
- Untuk masing-masing sistem linear berikut, tentukan nilai $h$ dan $k$ agar sistem tersebut konsisten, kemudian selesaikan untuk nilai parameter tersebut:
- (a) $x_1 + x_2 = 3$, $2x_1 + hx_2 = k$
- (b) $x_1 - 3x_2 = 1$, $hx_1 - 3x_2 = k$
- Selesaikan sistem persamaan homogen berikut. Nyatakan apakah sistem hanya memiliki solusi trivial atau memiliki solusi non-trivial, dan tuliskan solusi umum dalam bentuk parametrik jika ada solusi non-trivial:
- (a) $x_1 + x_2 - x_3 = 0$, $2x_1 + 2x_2 - 2x_3 = 0$
- (b) $x_1 - 2x_2 + x_3 = 0$, $x_1 + x_2 + x_3 = 0$, $3x_1 - 3x_2 + 3x_3 = 0$
- (c) $x_1 + 2x_2 + 3x_3 = 0$, $x_1 + x_3 = 0$
- Sebuah sistem linear homogen $m \times n$ memiliki matriks koefisien $A$. Jika $\text{rank}(A) = n$, jelaskan mengapa sistem ini hanya memiliki solusi trivial.
- Soal Pemikiran: Sistem linear $A\mathbf{x} = \mathbf{b}$ dinyatakan konsisten jika dan hanya jika $\text{rank}(A) = \text{rank}([A \mid \mathbf{b}])$. Mengapa kolom konstanta $\mathbf{b}$ harus dimasukkan dalam analisis perhitungan nilai rank ini? (Petunjuk: Hubungkan dengan konsep kebebasan linear antara baris-baris matriks $A$ dan elemen vektor $\mathbf{b}$).