Aljabar Linear
Dari Sistem Persamaan Linear hingga Dekomposisi Nilai Singular — Fondasi Aljabar Linear Lengkap untuk Insinyur
Daftar Isi & Deskripsi Bab
Peta perjalanan materi dari sistem persamaan linear dasar hingga dekomposisi nilai singular dan penerapannya dalam teknik.
Sistem Persamaan Linear dan Pengantar Matriks
Persamaan linear, sistem linear dan klasifikasinya (konsisten/inkonsisten), representasi matriks koefisien dan augmented, tiga operasi elemen baris, eliminasi Gauss sebagai metode penyelesaian, serta terminologi dasar matriks (jenis-jenis, ukuran, transpose).
Eliminasi Gauss dan Bentuk Eselon Baris
Bentuk eselon baris (REF) dan tereduksi (RREF), algoritma Gauss-Jordan, klasifikasi lengkap solusi (unik, tak hingga, tidak ada), konsep pivot dan variabel bebas, penulisan solusi parametrik dalam bentuk vektor, serta sistem homogen dan teorema tentang solusi non-trivial.
Operasi Matriks
Penjumlahan dan perkalian skalar, definisi perkalian matriks dan tiga interpretasinya, sifat-sifat termasuk non-komutativitas dan ketidakberlakuannya hukum pembatalan, transpose, matriks simetris/antisimetris/segitiga, trace, serta perkalian blok.
Matriks Invers dan Faktorisasi LU
Tiga jenis matriks elementer, pencarian invers melalui $[A \mid I]$, teorema invertibel matriks (daftar pernyataan ekuivalen), konstruksi faktorisasi $A = LU$ dari langkah eliminasi, pivoting parsial $PA = LU$, substitusi maju/mundur, dan analisis kompleksitas $O(\tfrac{2}{3}n^3)$.
Determinan
Definisi rekursif via kofaktor, perhitungan $2\times 2$ dan $3\times 3$ (termasuk Sarrus), sifat-sifat dan efek operasi baris, teorema $\det(AB)=\det(A)\det(B)$, matriks adjoin dan rumus invers, aturan Cramer, serta interpretasi geometris sebagai faktor skala luas/volume.
Vektor di $\mathbb{R}^n$
Vektor sebagai $n$-tupel, operasi aljabar dan geometris, kombinasi linear dan himpunan span, hasil kali titik beserta sifat-sifatnya, norma Euklides, jarak, sudut antar vektor, proyeksi ortogonal, serta persamaan garis dan bidang di $\mathbb{R}^3$.
Ruang Vektor dan Subruang
Definisi aksiomatik ruang vektor (delapan aksioma), verifikasi pada contoh konkret: ruang polinomial $\mathcal{P}_n$, ruang fungsi $\mathcal{C}[a,b]$, ruang matriks $\mathcal{M}_{m\times n}$, subruang dan kriteria tiga kondisi, subruang kolom/baris/nol, interseksi, jumlah subruang, dan jumlah langsung.
Basis, Dimensi, dan Rank
Kemerdekaan linear dan kriteria matriks, definisi basis dan koordinat, invariansi dimensi, rank dan nullity, teorema rank-nullity beserta konsekuensinya, empat subruang fundamental dan teorema fundamental aljabar linear, dualitas ortogonal $\text{Col}(A) \perp \text{Nul}(A^T)$.
Transformasi Linear
Definisi dan contoh (rotasi, pencerminan, proyeksi, dilatasi, diferensiasi), kernel dan range, konstruksi matriks transformasi terhadap basis, perubahan basis dan matriks perubahan basis, serta similaritas matriks $B = P^{-1}AP$.
Nilai Eigen dan Diagonalisasi
Definisi nilai eigen dan vektor eigen, persamaan karakteristik $\det(A-\lambda I)=0$, prosedur perhitungan, sifat-sifat ($\det = \prod\lambda_i$, $\text{tr} = \sum\lambda_i$, matriks simetris/ortogonal), syarat dan proses diagonalisasi $A=PDP^{-1}$, kuasa matriks, dan kondisi gagal (multiplicity aljabar $>$ geometris).
Ruang Hasil Dalam
Definisi aksiomatik hasil dalam (simetri, linearitas, positif definit), contoh: berbobot, $\langle f,g\rangle = \int_a^b fg\,dx$, polinomial, penurunan norma/jarak/sudut, ketidaksamaan Cauchy-Schwarz beserta bukti, ketidaksamaan segitiga, dan ortogonalitas dalam kerangka umum.
Ortogonalitas dan Proses Gram-Schmidt
Himpunan ortonormal dan keunggulannya, matriks ortogonal $Q^TQ=I$ (memiliki inverse, mempertahankan panjang/sudut), algoritma Gram-Schmidt klasik langkah demi langkah, komplemen ortogonal, dekomposisi QR via Gram-Schmidt, dan modified Gram-Schmidt untuk stabilitas numerik.
Dekomposisi QR
Refleksi Householder: konstruksi vektor $v$ dan sifat-sifatnya, faktorisasi QR stabil melalui Householder, rotasi Givens untuk elemen sparse, algoritma iterasi QR untuk menghitung semua nilai eigen (dengan shift Wilkinson), serta perbandingan praktis Gram-Schmidt vs Householder vs Givens.
Proyeksi Ortogonal dan Kuadrat Terkecil
Teorema proyeksi ortogonal dan dekomposisi $\mathbf{b}=\hat{\mathbf{b}}+\mathbf{e}$, masalah kuadrat terkecil $\min\|A\mathbf{x}-\mathbf{b}\|$, persamaan normal $A^TA\mathbf{x}=A^T\mathbf{b}$ dan syarat keberadaan solusi unik, penyelesaian via QR $R\mathbf{x}=Q^T\mathbf{b}$, serta derivasi regresi linear dan koefisien determinasi $R^2$.
Bentuk Kuadrat dan Matriks Simetris
Bentuk kuadrat dan matriks simetris terkait, diagonalisasi via perubahan variabel ortogonal, klasifikasi (positif/negatif definit, indefinit) melalui eigenvalue dan minor utama Sylvester, teorema spektral, prosedur diagonalisasi ortogonal langkah demi langkah, dan identifikasi permukaan kuadrik.
Dekomposisi Nilai Singular (SVD)
Motivasi untuk matriks non-persegi, teorema $A=U\Sigma V^T$ dan interpretasi geometris, perhitungan via eigenvalue $A^TA$, thin SVD, pseudoinvers Moore-Penrose $A^+=V\Sigma^+U^T$, hubungan dengan empat subruang fundamental, low-rank approximation $A_k$, dan penerapan kompresi gambar.
Persamaan Diferensial Linear dan $e^{At}$
Sistem $\mathbf{x}'=A\mathbf{x}$ dan solusi via diagonalisasi, definisi eksponensial matriks $e^{At}$ melalui deret Taylor, properti dasar ($e^{A+B}$, invers, turunan), solusi umum $\mathbf{x}(t)=e^{At}\mathbf{x}_0$, serta klasifikasi stabilitas titik kesetimbangan berdasarkan nilai eigen dan diagram fase 2D.
Rantai Markov dan Analisis Graf
Rantai Markov dan matriks transisi stokastik, distribusi probabilitas dan evolusinya, distribusi stasioner sebagai vektor eigen $\pi P = \pi$, konvergensi dan nilai eigen dominan, graf terarah dan matriks adjacency/Laplacian, serta spektral graf dan penerapan clustering.
Analisis Data: PCA dan Regresi
Regresi ridge via SVD sebagai regularisasi, analisis komponen utama: motivasi reduksi dimensi, PCA via matriks kovarians (eigenvalue decomposition), PCA via SVD langsung pada data tersentrisasi, klasifikasi linear, dan visualisasi data berdimensi tinggi.
Pemrosesan Sinyal dan Metode Numerik
Diskrit Fourier transform dan matriks Fourier, konvolusi sebagai perkalian matriks dan filtering, metode iteratif Jacobi dan Gauss-Seidel untuk sistem besar, metode power untuk nilai eigen terbesar, norma vektor/matriks, bilangan kondisi $\kappa(A)$, dan estimasi galat relatif.
Gunakan sidebar di sisi kiri untuk menavigasi antar bab. Setiap bab berdiri sendiri sebagai halaman terpisah sehingga memuat lebih cepat. Tombol Cetak PDF di pojok kanan bawah dapat digunakan untuk mengekspor halaman yang sedang aktif ke format PDF melalui fungsi cetak browser. Semua rumus ditampilkan menggunakan MathJax dan akan tercetak dengan benar pada PDF.